If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 2

Lecția 1: Progresii aritmetice
Matematică
Recapitulare pentru BAC
Progresii
Progresii aritmetice
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Introducere în formulele progresiilor aritmetice

Clasa Google
Te familiarizezi cu noțiunile de bază ale formulelor explicite și recurente pentru progresiile aritmetice.
Înainte de a parcurge lecția, asigură-te că știi noțiunile de bază despre progresiile aritmetice și că ai parcurs calcularea valorii unei funcții și domeniul unei funcții.

Ce este o formulă?

Suntem obișnuiți să definim progresiile aritmetice în felul următor:
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Însă există și alte metode. În această lecție, vom învăța două noi moduri de a reprezenta progresii aritmetice: formule recurente și formule explicite. Formulele ne învață cum să determinăm orice termen al unui șir.
Pentru a-și păstra caracterul de generalitate, formulele utilizează n pentru a reprezenta indicele oricărui termen și a, left parenthesis, n, right parenthesis pentru a reprezenta al n, start superscript, start text, l, e, a, end text, end superscript termen al șirului. De exemplu, iată primii câțiva termeni ai progresiei aritmetice 3, 5, 7, ...
na, left parenthesis, n, right parenthesis
(Indicele termenului)(Al n, start superscript, start text, l, e, a, end text, end superscript termen)
13
25
37
Am menționat mai sus că formulele ne învață cum să determinăm orice termen al unui șir. Putem reformula acest lucru în felul următor: formulele ne spun cum să aflăm a, left parenthesis, n, right parenthesis pentru orice n posibil.

Verifică dacă ai înțeles

1) Determină a, left parenthesis, 4, right parenthesis din șirul 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Pentru un indice oarecare n al unui termen, ce reprezintă a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis?
Alege un răspuns:

Formule recurente ale progresiilor aritmetice

Formulele recurente ne oferă două informații:
  1. Primul termen al unui șir
  2. Regula prin care obținem orice termen dintr-un șir pe baza termenului care îl precede
Iată formula recurentă a șirului 3, 5, 7, ... împreună cu explicațiile pentru fiecare parte.
{a(1)=3←Primul termen este egal cu trei.a(n)=a(n−1)+2←Aduna˘m doi la termenul anterior.\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{Primul termen este egal cu trei.}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{Adunăm doi la termenul anterior.}} \end{cases}
Pentru a determina al cincilea termen, de exemplu, trebuie să extindem șirul termen cu termen:
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
Super! Această formulă ne dă același șir descris prin 3, 5, 7, ...

Verifică dacă ai înțeles

Acum e rândul tău să găsești termenii unor șiruri folosind formulele lor recurente.
Așa cum am folosit a, left parenthesis, n, right parenthesis pentru a reprezenta al n, start superscript, start text, l, e, a, end text, end superscript termen al șirului 3, 5, 7, ..., putem utiliza și alte litere pentru a reprezenta alte șiruri. De exemplu, putem folosi b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis sau d, left parenthesis, n, right parenthesis.
3) Determină b, left parenthesis, 4, right parenthesis în șirul dat prin {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Determină c, left parenthesis, 3, right parenthesis în șirul dat prin {c(1)=20c(n)=c(n−1)−17\begin{cases}c(1)=20\\\\ c(n)=c(n-1)-17 \end{cases}
c, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Determină d, left parenthesis, 5, right parenthesis în șirul dat prin {d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4\begin{cases}d(1)=2\\\\ d(n)=d(n-1)+0{,}4 \end{cases}
d, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Formule explicite ale progresiilor aritmetice

Iată o formulă explicită a șirului 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Această formulă ne permite să înlocuim pur și simplu variabila cu indicele termenului care ne interesează pentru a obține valoarea termenului respectiv.
Pentru a determina al cincilea termen, de exemplu, trebuie să înlocuim n, equals, 5 în formula explicită.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Iată că obținem același rezultat ca înainte!

Verifică dacă ai înțeles

6) Determină b, left parenthesis, 10, right parenthesis în șirul dat prin b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) Determină c, left parenthesis, 8, right parenthesis în șirul dat prin c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
c, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) Determină d, left parenthesis, 21, right parenthesis în șirul dat prin d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 2, plus, 0, comma, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
d, left parenthesis, 21, right parenthesis, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Șirurile sunt funcții

Observă că formulele pe care le-am folosit în această lecție funcționează ca niște funcții: Introducem indicele unui termen n, iar formula produce valoarea acelui termen a, left parenthesis, n, right parenthesis.
Șirurile sunt de fapt definite ca funcții. Cu toate acestea, n nu poate fi orice valoare reală. Nu există al minus cincilea termen sau al 0,4-lea termen al unui șir.
Acest lucru înseamnă că domeniul de definiție al șirurilor - adică mulțimea tuturor intrărilor posibile ale funcției - este reprezentat de întregii pozitivi.

O observație despre notație

Până acum am scris a, left parenthesis, 4, right parenthesis, de exemplu, pentru a reprezenta al patrulea termen, dar în alte surse este scris uneori a, start subscript, 4, end subscript.
Ambele notații pot fi utilizate. Preferăm a, left parenthesis, 4, right parenthesis deoarece subliniază faptul că șirurile sunt funcții.

Întrebare reflectivă

9) Ce tip de formulă este mai utilă pentru aflarea rapidă a celui de-al 100-lea termen al unei progresii aritmetice?
Alege un răspuns:

Problemă provocare

10) Formula explicită a unei progresii aritmetice este f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Care dintre termenii șirului este egal cu -65?
Al
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
termen.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.