If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Transformarea formelor recurente și explicite ale progresiilor aritmetice

Înveți cum să transformi formele recurente ale progresiilor aritmetice în forme explicite și vice versa.
Înainte de a citi această lecție, asigură-te că știi să găsești formele recurente și formele explicite ale progesiilor aritmetice.

Transformarea unei formule recurente într-o formulă explicită

O progresie aritmetică are următoarea formulă recurentă:
{a(1)=3a(n)=a(n1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Amintește-ți că această formulă ne oferă următoarele informații:
  • Primul termen este start color #0d923f, 3, end color #0d923f
  • Pentru a obține orice termen pornind de la termenul anterior, se adună start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. Cu alte cuvinte, rația este start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Haide să găsim o formulă explicită pentru acest șir.
Ține minte că putem scrie un șir pentru care primul termen este egal cu start color #0d923f, A, end color #0d923f și a cărui rație este start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 cu ajutorul formei explicite generale start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Așadar, o formulă explicită a șirului este a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Verifică dacă ai înțeles

1) Scrie o formulă explicită pentru acest șir.
{b(1)=22b(n)=b(n1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) Scrie o formulă explicită pentru acest șir.
{c(1)=8c(n)=c(n1)13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

Transformarea unei formule explicite într-o formulă recurentă

Exemplul 1: Formula este dată sub formă generală

Se dă următoarea formulă explicită a unei progresii aritmetice.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Această formulă este dată sub forma explicită generală start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis unde start color #0d923f, A, end color #0d923f este primul termen și start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 este rația. Așadar,
  • primul termen al șirului este start color #0d923f, 5, end color #0d923f, iar
  • rația este start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.
Haide să determinăm o formulă recurentă pentru șir. Amintește-ți că formula recurentă ne oferă două informații:
  1. Primul termen left parenthesisdespre care știm că este start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
  2. Regula pe baza căreia obținem orice termen cu ajutorul termenului său anterior left parenthesisdespre care știm că este "se adună start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6"right parenthesis
Așadar, aceasta este o formulă recurentă a șirului.
{d(1)=5d(n)=d(n1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Exemplul 2: Formula este dată sub formă simplificată

Se dă următoarea formulă explicită a unei progresii aritmetice.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
Observă că această formulă nu este dată sub forma explicită generală start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Din acest motiv, nu putem folosi pur şi simplu structura formulei pentru a afla primul termen şi rația. În schimb, putem determina primii doi termeni:
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
Acum putem observa că primul termen este start color #0d923f, 12, end color #0d923f și rația este start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Așadar, aceasta este o formulă recurentă a șirului.
{e(1)=12e(n)=e(n1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Verifică dacă ai înțeles

3) Formula explicită a unei progresii aritmetice este f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Completează valorile necunoscute din formula recurentă a șirului.
{f(1)=Af(n)=f(n1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Formula explicită a unei progresii aritmetice este g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Completează valorile necunoscute din formula recurentă a șirului.
{g(1)=Ag(n)=g(n1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Formula explicită a unei progresii aritmetice este h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.
Completează valorile necunoscute din formula recurentă a șirului.
{h(1)=Ah(n)=h(n1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Formula explicită a unei progresii aritmetice este i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.
Completează valorile necunoscute din formula recurentă a șirului.
{i(1)=Ai(n)=i(n1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problemă provocare

7*) Alege toate formulele care descriu corect progresia aritmetică 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte: