If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Formule explicite ale progresiilor aritmetice

Înveți cum să determini formule explicite pentru progresii aritmetice. De exemplu, determină formula explicită a șirului 3, 5, 7,...
Înainte de a parcurge lecția, asigură-te că știi noțiunile de bază despre formulele progresiilor aritmetice.

Cum funcționează formulele explicite?

Iată o formulă explicită a șirului 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
În formulă, n este indicele unui termen oarecare și a, left parenthesis, n, right parenthesis este al n, start superscript, start text, l, e, a, end text, end superscript termen.
Această formulă ne permite să înlocuim pur și simplu variabila cu indicele termenului care ne interesează pentru a obține valoarea termenului respectiv.
Pentru a determina al cincilea termen, de exemplu, trebuie să înlocuim n, equals, 5 în formula explicită.
a(5)=3+2(51)=3+24=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Super! Acesta este, de fapt, al cincilea termen al șirului 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Verifică dacă ai înțeles

1) Determină b, left parenthesis, 10, right parenthesis în șirul dat prin b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Scrierea formulelor explicite

Fie progresia aritmetică 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point Primul termen al șirului este start color #0d923f, 5, end color #0d923f și rația este start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Putem obține orice termen din șir adăugând la primul termen, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, valoarea rației, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, în mod repetat. Observă, de exemplu, următoarele calcule ale primilor câțiva termeni.
nCalculul celui de-al n, start superscript, start text, l, e, a, end text, end superscript termen
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
Tabelul demonstrează că putem obține al n, start superscript, start text, l, e, a, end text, end superscript termen (unde n este indicele oricărui termen) adunând la primul termen, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, rația, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, în mod repetat, de n, minus, 1 ori. Acest lucru poate fi scris algebric sub forma start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
În general, formula explicită standard a unei progresii aritmetice cu primul termen start color #0d923f, A, end color #0d923f și rația start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 este următoarea:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Verifică dacă ai înțeles

2) Scrie o formulă explicită pentru șirul 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) Scrie o formulă explicită pentru șirul 5, comma, 9, comma, 1, comma, point, point, point.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) Formula explicită a unui șir este f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Care este primul termen al șirului?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Care este rația?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Formule explicite echivalente

Formulele explicite se pot regăsi în mai multe forme.
De exemplu, următoarele sunt toate formule explicite pentru șirul 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point.
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (aceasta este formula standard)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
Poate că formulele arată diferit, dar important este că putem înlocui n în formulă și obținem valoarea corectă a celui de-al n, start superscript, start text, l, e, a, end text, end superscript termen (încearcă și tu să demonstrezi că celelalte formule sunt corecte!).
Formulele explicite diferite care descriu același șir se numesc formule echivalente.

O greșeală frecventă

O progresie aritmetică poate avea diferite formule echivalente, dar este important să ne amintim că numai forma standard ne oferă primul termen și rația.
De exemplu, secvența 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point are primul termen egal cu start color #0d923f, 2, end color #0d923f și rația egală cu start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
Formula explicită start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis descrie acest șir, însă formula explicită start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n descrie alt șir.
Pentru a aduce formula 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis la o formulă echivalentă de forma A, plus, B, n, putem extinde parantezele și simplifica expresia:
=2+6(n1)=2+6n6=4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Unii ar putea prefera formula minus, 4, plus, 6, n în locul formulei echivalente 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, deoarece este mai scurtă. Partea bună a formulei mai lungi este că ne oferă primul termen.

Verifică dacă ai înțeles

5) Determină toate formulele explicite corecte ale șirului 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte:

Probleme provocare

6*) Determină al 124, start superscript, start text, l, e, a, end text, end superscript termen al progresiei aritmetice 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7*) Primul termen al unei progresii aritmetice este 5 și al zecelea termen este 59.
Care este rația?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text