Conţinutul principal

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 2

Lecția 1: Progresii aritmetice

Introducere în formulele progresiilor aritmetice

Te familiarizezi cu noțiunile de bază ale formulelor explicite și recurente pentru progresiile aritmetice.

Înainte de a parcurge lecția, asigură-te că știi noțiunile de bază despre progresiile aritmetice și că ai parcurs calcularea valorii unei funcții și domeniul unei funcții.

Ce este o formulă?

Suntem obișnuiți să definim progresiile aritmetice în felul următor:

3, 5, 7, …

Însă există și alte metode. În această lecție, vom învăța două noi moduri de a reprezenta progresii aritmetice: formule recurente și formule explicite. Formulele ne învață cum să determinăm orice termen al unui șir.

Pentru a-și păstra caracterul de generalitate, formulele utilizează

n

pentru a reprezenta indicele oricărui termen și

a (n)

pentru a reprezenta al

n^{lea}

termen al șirului. De exemplu, iată primii câțiva termeni ai progresiei aritmetice 3, 5, 7, ...

$n$ ‍	$a (n)$ ‍
(Indicele termenului)	(Al $n^{lea}$ ‍ termen)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

Am menționat mai sus că formulele ne învață cum să determinăm orice termen al unui șir. Putem reformula acest lucru în felul următor: formulele ne spun cum să aflăm $a (n)$ ‍ pentru orice $n$ ‍ posibil.

Verifică dacă ai înțeles

1) Determină $a (4)$ ‍ din șirul 3, 5, 7, ...

a (4) =

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3$ ‍		$5$ ‍		$7$ ‍		$9$ ‍
$a (1)$ ‍		$a (2)$ ‍		$a (3)$ ‍		$a (4)$ ‍

2) Pentru un indice oarecare $n$ ‍ al unui termen, ce reprezintă $a (n - 1)$ ‍?

Să analizăm câteva valori concrete pentru:

$n$ ‍	$a (n - 1)$ ‍	Interpretarea lui $a (n - 1)$ ‍
$2$ ‍	$a (2 - 1) = a (1)$ ‍	Primul termen, cel de dinaintea lui $a (2)$ ‍
$3$ ‍	$a (3 - 1) = a (2)$ ‍	Al doilea termen, cel de dinaintea lui $a (3)$ ‍
$4$ ‍	$a (4 - 1) = a (3)$ ‍	Al treilea termen, cel de dinaintea lui $a (4)$ ‍

În general, observăm că $a (n - 1)$ ‍ este termenul care se află înaintea lui $a (n)$ ‍.

Formule recurente ale progresiilor aritmetice

Formulele recurente ne oferă două informații:

Primul termen al unui șir
Regula prin care obținem orice termen dintr-un șir pe baza termenului care îl precede

Iată formula recurentă a șirului 3, 5, 7, ... împreună cu explicațiile pentru fiecare parte.

{\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow Primul termen este egal cu trei. \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow Adunăm doi la termenul anterior. \end{cases}

Pentru a determina al cincilea termen, de exemplu, trebuie să extindem șirul termen cu termen:

$a (n)$ ‍	$= a (n - 1) + 2$ ‍
$a (1)$ ‍			$= 3$ ‍
$a (2)$ ‍	$= a (1) + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a (3)$ ‍	$= a (2) + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a (4)$ ‍	$= a (3) + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a (5)$ ‍	$= a (4) + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

Super! Această formulă ne dă același șir descris prin 3, 5, 7, ...

Verifică dacă ai înțeles

Acum e rândul tău să găsești termenii unor șiruri folosind formulele lor recurente.

Așa cum am folosit

a (n)

pentru a reprezenta al

n^{lea}

termen al șirului 3, 5, 7, ..., putem utiliza și alte litere pentru a reprezenta alte șiruri. De exemplu, putem folosi

b (n)

c (n)

d (n)

3) Determină $b (4)$ ‍ în șirul dat prin

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

Semnificația acestei formule poate fi exprimată în felul următor:

Primul termen este minus cinci, iar oricare alt termen este egal cu termenul său precedent plus nouă.

Pentru a calcula

b (4)

, trebuie să extindem șirul termen cu termen:

$b (n)$ ‍	$= b (n - 1) + 9$ ‍
$b (1)$ ‍			$= - 5$ ‍
$b (2)$ ‍	$= b (1) + 9$ ‍	$= - 5 + 9$ ‍	$= 4$ ‍
$b (3)$ ‍	$= b (2) + 9$ ‍	$= 4 + 9$ ‍	$= 13$ ‍
$b (4)$ ‍	$= b (3) + 9$ ‍	$= 13 + 9$ ‍	$= 22$ ‍

Așadar, $b (4) = 22$ ‍.

4) Determină $c (3)$ ‍ în șirul dat prin

{\begin{cases} c (1) = 20 \\ c (n) = c (n - 1) - 17 \end{cases}

c (3) =

Semnificația acestei formule poate fi exprimată în felul următor:

Primul termen este 20, iar oricare alt termen este egal cu termenul său precedent minus 17.

Pentru a calcula

c (3)

, trebuie să extindem șirul termen cu termen:

$c (n)$ ‍	$= c (n - 1) - 17$ ‍
$c (1)$ ‍			$= 20$ ‍
$c (2)$ ‍	$= c (1) - 17$ ‍	$= 20 - 17$ ‍	$= 3$ ‍
$c (3)$ ‍	$= c (2) - 17$ ‍	$= 3 - 17$ ‍	$= - 14$ ‍

Așadar, $c (3) = - 14$ ‍.

5) Determină $d (5)$ ‍ în șirul dat prin

{\begin{cases} d (1) = 2 \\ d (n) = d (n - 1) + 0, 4 \end{cases}

d (5) =

Semnificația acestei formule poate fi exprimată în felul următor:

Primul termen este doi, iar oricare alt termen este egal cu termenul său precedent plus 0,4.

Pentru a calcula

d (5)

, trebuie să extindem șirul termen cu termen:

$d (n)$ ‍	$= d (n - 1) + 0, 4$ ‍
$d (1)$ ‍			$= 2$ ‍
$d (2)$ ‍	$= d (1) + 0, 4$ ‍	$= 2 + 0, 4$ ‍	$= 2, 4$ ‍
$d (3)$ ‍	$= d (2) + 0, 4$ ‍	$= 2, 4 + 0, 4$ ‍	$= 2, 8$ ‍
$d (4)$ ‍	$= d (3) + 0, 4$ ‍	$= 2, 8 + 0, 4$ ‍	$= 3, 2$ ‍
$d (5)$ ‍	$= d (4) + 0, 4$ ‍	$= 3, 2 + 0, 4$ ‍	$= 3, 6$ ‍

Așadar, $d (5) = 3, 6$ ‍.

Formule explicite ale progresiilor aritmetice

Iată o formulă explicită a șirului 3, 5, 7, ...

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Această formulă ne permite să înlocuim pur și simplu variabila cu indicele termenului care ne interesează pentru a obține valoarea termenului respectiv.

Pentru a determina al cincilea termen, de exemplu, trebuie să înlocuim

n = 5

în formula explicită.

\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

Iată că obținem același rezultat ca înainte!

Verifică dacă ai înțeles

6) Determină $b (10)$ ‍ în șirul dat prin $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b (10) =

7) Determină $c (8)$ ‍ în șirul dat prin $c (n) = 20 - 17 (n - 1)$ ‍.

c (8) =

8) Determină $d (21)$ ‍ în șirul dat prin $d (n) = - 2 + 0, 4 (n - 1)$ ‍.

d (21) =

Șirurile sunt funcții

Observă că formulele pe care le-am folosit în această lecție funcționează ca niște funcții: Introducem indicele unui termen

n

, iar formula produce valoarea acelui termen

a (n)

Șirurile sunt de fapt definite ca funcții. Cu toate acestea,

n

nu poate fi orice valoare reală. Nu există al minus cincilea termen sau al 0,4-lea termen al unui șir.

Acest lucru înseamnă că domeniul de definiție al șirurilor - adică mulțimea tuturor intrărilor posibile ale funcției - este reprezentat de întregii pozitivi.

O observație despre notație

Până acum am scris

a (4)

, de exemplu, pentru a reprezenta al patrulea termen, dar în alte surse este scris uneori

a_{4}

Ambele notații pot fi utilizate. Preferăm

a (4)

deoarece subliniază faptul că șirurile sunt funcții.

Întrebare reflectivă

9) Ce tip de formulă este mai utilă pentru aflarea rapidă a celui de-al 100-lea termen al unei progresii aritmetice?

Pentru a determina al 100-lea termen folosind formula recurentă, trebuie să extindem șirul termen cu termen până ajungem la 100. Acest lucru ar lua foarte mult timp!

Pentru a determina al 100-lea termen folosind formula explicită, tot ce trebuie să facem este să introducem

n = 100

în formulă și să calculăm. Acest lucru nu necesită mai mult timp decât găsirea celui de-al doilea termen sau a celui de-al 1000-lea termen, de exemplu.

În concluzie, formula explicită este mai utilă pentru găsirea celui de-al 100-lea termen al unei progresii aritmetice.

Problemă provocare

10) Formula explicită a unei progresii aritmetice este

f (n) = 3 - 4 (n - 1)

Care dintre termenii șirului este egal cu -65?

termen.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.