Conţinutul principal

Curs: Biblioteca de fizică > Unitatea 1

Lecția 5: Accelerația medie și accelerația instantanee

Ce sunt graficele viteză vs. timp?

Cum să analizezi graficele care raportează viteza și timpul la accelerație și deplasare.

Ce reprezintă axa verticală într-un grafic al vectorului viteză?

Axa verticală reprezintă valoarea vectorului viteză. Probabil pare evident, dar aveți grijă, graficele vectorului viteză sunt destul de greu de interpretat. Oamenii s-au obișnuit să determine valoarea vectorului viteză calculând panta, așa cum s-ar proceda într-un grafic al poziției, uitând totuși că în graficele vectorului viteză axa verticală reprezintă valoarea acestuia.

În graficul de mai jos, încearcă să alegi pe axa orizontală diferite momente și urmărește cum se schimbă valoarea vectorului viteză în funcție de timp.

Verificarea conceptului: Care este valoarea vectorului viteză la momentul $t = 4 secunde$ ‍, așa cum rezultă din graficul de mai sus?

Ce reprezintă panta într-un grafic al vectorului viteză?

Panta unui grafic al vectorului viteză reprezintă accelerația corpului. Prin urmare, valoarea pantei la un anumit moment de timp reprezintă accelerația corpului în acel moment.

Panta unui grafic al vectorului viteză are următoarea formulă:

panta = \frac{diferența ordonatelor}{diferența absciselor} = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ v}{Δ t}

Din moment ce

\frac{Δ v}{Δ t}

este definiția accelerației, panta unui grafic al vectorului viteză trebuie să fie egală cu accelerația corpului.

panta = accelerația

Acest lucru înseamnă că, atunci când panta este înclinată, corpul își schimbă rapid valoarea vectorului viteză. Când panta este aproape orizontală, corpul nu își va schimba foarte repede valoarea vectorului viteză. Asta mai înseamnă că, dacă panta este negativă—orientată în jos—accelerația va fi negativă, iar dacă panta este pozitivă—orientată în sus—accelerația va fi pozitivă.

În graficul de mai jos, încearcă să schimbi poziția punctului pe orizontală pentru a vedea cum arată panta într-un anumit moment de timp.

Panta graficului este pozitivă între

t = 0 s

și

t = 2 s

pentru că aceasta se îndreaptă în sus. Rezultă că accelerația e pozitivă.

Panta graficului este negativă între

t = 2 s

și

t = 8 s

pentru că aceasta se îndreaptă în jos. Rezultă că accelerația este negativă.

t = 2 s

, panta este zero pentru că linia tangentă la grafic e orizontală. Rezultă că accelerația e zero în acest moment.

Verificarea conceptului: În momentul $t = 4 s$ ‍, corpul a cărui mișcare este descrisă în graficul de mai sus accelerează sau încetinește?

Corpul încetinește în momentul

t = 4 s

Putem vedea aceasta și mutând cursorul la

t = 4 s

. Observă că panta graficului este negativă, ceea ce înseamnă că accelerația este negativă. Vectorul viteză la

t = 4 s

este pozitiv și are valoarea

+ 3 m/s

. Întrucât accelerația și valoarea vectorului viteză au semne opuse, corpul încetinește.

Se mai poate observa că la

t = 4 s

, graficul se apropie de axa orizontală. Din moment ce pe axa orizontală

v = 0 m/s

, un grafic orientat spre axa orizontală reprezintă mișcarea unui corp care încetinește. Similar, un grafic ce se îndepărtează de axa orizontală reprezintă mișcarea unui corp ce accelerează. Deci, când

t = 7 s

în reprezentarea de mai sus, graficul se îndepărtează de axa orizontală și viteza corpului crește pe măsură ce corpul se îndreaptă în direcție negativă.

Ce reprezintă aria porțiunii aflate sub graficul vectorului viteză?

Aria porțiunii aflată sub graficul vectorului viteză reprezintă deplasarea corpului. Pentru a înțelege motivul, urmărește graficul de mai jos al mișcării în care se prezintă un corp ce se mișcă cu viteza constantă de 6 m/s timp de 5 secunde.

Pentru a determina deplasarea în acest interval de timp, putem folosi următoarea formulă

Δ x = v Δ t = (6 m/s) (5 s) = 30 m

rezultatul fiind o deplasare de

30 m

Acum vom demonstra că putem obține același rezultat determinând aria porțiunii aflate sub grafic. Să considerăm aria dreptunghiului delimitat de graficul de mai jos.

Aria acestui dreptunghi poate fi obținută înmulțind înălțimea dreptunghiului, 6 m/s, cu lățimea acestuia, 5 s, obținând

aria = înălțimea \times lățimea = 6 m/s \times 5 s = 30 m

Obținem același rezultat ca în prima metodă. Concluzia este că aria de sub graficul vectorului viteză, indiferent de forma sa, este egală cu deplasarea în acel interval de timp.

Pentru o formă arbitrară, putem împărți porțiunea de grafic în dreptunghiuri de lățime foarte mică, așa cum poți vedea în graficul de mai jos. Deplasarea în fiecare din aceste intervale de timp este

Δ x = v Δ t

, întrucât viteza ar fi constantă, dacă intervalele de timp sunt mici. Dacă dreptunghiurile ar fi extrem de mici, ele ar reprezenta exact aria porțiunii de sub grafic, iar adunând toate aceste arii mici am obține aria totală, precum și deplasarea corpului. Atunci când rezolvi o problemă de acest gen, nu trebuie să împarți graficul într-o infinitate de dreptunghiuri. Odată ce te-ai convins că aria reprezintă deplasarea, o poți determina folosind orice metodă dorești.

aria de sub grafic = deplasarea

Chiar și în acest caz, ar trebui să determini aria porțiunii dintre grafic și axa timpului. Dar întrucât porțiunea se află sub axa timpului, deplasarea este egală cu aria, luată cu semn opus. Acest lucru are logică, deoarece, în acest interval de timp valoarea vectorului viteză este negativă, ceea ce duce la o deplasare negativă.

Din acest motiv, mulți oameni consdieră porțiunile aflate sub axa timpului drept "arii negative", ca să-și amintească să pună semnul minus. Acest lucru este un nonsens, deoarece, prin definiție, aria este mai mare sau egală cu zero. Totuși, pentru a nu uita de semnul minus, oamenii consideră porțiunile de sub grafic - "arii negative".

Iată câteva exemple care implică grafice în coordonate vector viteză și timp

Exemplul 1: Variația neuniformă a vitezei

Un windsurfer călătorește de-a lungul unei linii drepte, iar deplasarea lui poate fi urmărită în graficul vectorului vitezei de mai jos.

Selectează toate propozițiile adevărate despre viteza și accelerația windsurferului.

(A) Viteza este în creștere.
(B) Accelerația este în creștere.
(C) Viteza descrește.
(D) Accelerația descrește.

Sunt adevărate Punctele A, viteza este în creștere, și D, accelerația descrește.

Panta unui grafic al vectorului viteză este accelerația. Întrucât panta graficului scade și devine mai puțin înclinată, rezultă că accelerația scade și ea.

Poate ți se pare ciudat, dar windsurferul accelerează pe parcursul întregului grafic. Valoarea graficului, adică a vectorului viteză, crește pe parcursul întregii mișcări, dar creșterea devine din ce în ce mai mică. Pentru primele 4,5 secunde, viteza crește de la 0 m/s la 5 m/s, iar pentru următoarele 4,5 secunde, aceasta crește de la 5 m/s la doar 7 m/s.

Exemplul 2: Accelerația unui go-kart

Putem urmări mișcarea go-kartului în graficul vectorului vitezei în raport cu timpul, ilustrat mai jos.

A. Care e accelerația go-kartului în momentul $t = 4 s$ ‍?
B. Care e deplasarea acestuia între $t = 0 s$ ‍ și $t = 7 s$ ‍?

A. Determinarea accelerației în momentul $t = 4 s$ ‍

Putem calcula accelerația când

t = 4 s

, aflând panta graficului vectorului vitezei în momentul

t = 4 s

panta = \frac{diferența ordonatelor}{diferența absciselor}

Pentru diagonală, alegem ca punct de plecare pe cel de coordonate:

3 s, 6 m/s

—, iar ca punct final, cel cu coordonatele:

7 s, 0 m/s

. Înlocuind aceste valori în formula pantei, obținem

panta = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{0 m/s - 6 m/s}{7 s - 3 s} = \frac{- 6 m/s}{4 s} = - 1, 5 \frac{m}{s^{2}}

accelerația = - 1, 5 \frac{m}{s^{2}}

B. Determinarea deplasării unui go-kart între $t = 0 s$ ‍ și $t = 7 s$ ‍

Putem determina deplasarea go-kartului, găsind aria sub graficul vectorului vitezei. Putem privi graficul ca un dreptunghi (între

t = 0 s

și

t = 3 s

) și un triunghi (între

t = 3 s

și

t = 7 s

). Găsind ariile acestor figuri geometrice și adunându-le, o să obținem deplasarea totală.

Aria dreptunghiului o găsim în modul următor:

aria = h \times l = 6 m/s \times 3 s = 18 m

Aria triunghiului o găsim astfel:

aria = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (4 s) (6 m/s) = 12 m

Adunând valorile celor două arii, obținem deplasarea totală.

aria totală = 18 m + 12 m = 30 m

deplasarea totală = 30 m

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Biblioteca de fizică