Teorema fundamentală a aritmeticii

Imaginează-ți că trăim în vremuri preistorice. Acum, gândește-te la ideea următoare. Cum urmăream trecerea timpului fără ceas? Toate ceasurile se bazează pe tipare repetitive care împart timpul în segmente egale. Pentru a găsi astfel de tipare, ne îndreptăm atenția spre cer. Un exemplu evident este soarele care răsare și apune în fiecare zi. Însă, pentru a urmări perioade mai lungi de timp, am căutat intervale mai lungi. Astfel, ne-am uitat către lună, care pare să crească și descrească treptat, mai multe zile la rând. Dacă numărăm câte zile sunt între două luni pline, ajungem la numărul 29. Acesta stă la baza unei luni de zile. Însă, dacă încercăm să împărțim 29 în părți egale, ne lovim de o problemă. Este imposibil. Singurul mod de a împărți 29 în părți egale este să îl spargem în părți unitare. 29 este un număr prim. Gândește-te că este indestructibil. Dacă un număr poate fi împărțit în părți egale mai mari decât unu, îl numim număr compus. Acum, dacă suntem curioși, ne putem întreba câte numere prime există și cât de mari pot fi ele? Să începem prin a clasifica numerele în două categorii. Notăm numerele prime în stânga, și pe cele compuse în dreapta. La început par să alterneze. Nu există niciun tipar evident. Pentru a vedea imaginea de ansamblu, folosim o tehnică modernă. Secretul este să folosim o spirală Ulam. Mai întâi, scriem în ordine toate numerele, într-o spirală crescătoare. Apoi, colorăm toate numerele prime cu albastru. La final, facem un pas în spate pentru a vedea milioane de numere. Acesta este tiparul numerelor prime, care continuă la infinit. Incredibil, dar structura completă a acestui tipar nu a fost descoperită până azi. Suntem pe drumul cel bun. Să ne îndreptăm acum spre Grecia antică, în jurul anului 300 î.e.n. Un filosof numit Euclid din Alexandria a înțeles că numerele pot fi împărțite în aceste două categorii distincte. A început observând că orice număr poate fi împărțit în părți egale de mai multe ori, până când ajungi la un grup cu cele mai mici numere egale. Prin definiție, aceste cele mai mici numere sunt mereu numere prime. El a înțeles că toate numerele sunt, într-un fel, formate din alte numere prime mai mici. Pentru a ilustra, imaginează-ți universul tuturor numerelor și ignoră numerele prime. Acum, alege orice număr compus și împarte-l în părți egale. Mereu vei rămâne cu numere prime. Euclid a înțeles că orice număr poate fi exprimat printr-un grup de numere prime mai mici. Gândește-te la ele ca la cărămizi. Indiferent ce număr alegi, poate fi construit adunând mai multe numere prime mai mici. Asta stă la baza descoperirii sale, numită teorema fundamentală a aritmeticii, după cum urmează. Ia orice număr, de exemplu 30, și găsește toate numerele prime la care se împarte exact. Acest proces se numește descompunerea în factori primi. Așa vom obține factorii primi. În cazul nostru, 2, 3 și 5 sunt factorii primi ai lui 30. Euclid a observat că putem înmulți acești factori primi de un anumit număr de ori pentru a construi numărul inițial. În cazul nostru, înmulțind fiecare factor o dată construim 30. 2 înmulțit cu 3 înmulțit cu 5 este descompunerea lui 30. Gândește-te la ea ca la o cheie sau o combinație specială. Nu există alt mod de a construi 30 folosind un alt grup de numere prime înmulțite între ele. Deci, fiecare număr are doar o singură descompunere în factori primi. Am putea face o analogie imaginându-ne fiecare număr ca un lacăt diferit. Cheia unică pentru fiecare lacăt ar fi descompunerea sa în factori primi. Nu există două lacăte cu aceeași cheie. Nu există două numere cu aceeași descompunere în factori primi.