Conţinutul principal

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Lecția 8: Descompunerea în factori: Pătrate perfecte

Descompunerea în factori: Pătrate perfecte

Învață cum să descompui în factori pătratice de forma "pătrat perfect". De exemplu, scrie x²+6x+9 ca (x+3)².

Descompunerea unui polinom presupune scrierea lui ca produs de două sau mai multe polinoame. Inversează procesul de înmulțire a polinoamelor.

În acest articol, vei învăța cum să iei în calcul trinomamele pătrate perfecte folosind mode speciale. Acest lucru inversează procesul de ridicare la pătrat al unui binom, așa că ar trebui să înțelegi asta foarte bine înainte de a continua.

Introducere: Descompunerea trinoamelor pătrate perfecte

Pentru a dezvolta orice binom, putem aplica unul dintre următoarele modele.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ‍
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ‍

Observă că, în modele,

a

și

b

pot fi orice expresie algebrică. De exemplu, să presupunem că vrei să dezvolți

(x + 5)^{2}

. În acest caz,

a = x

și

b = 5

și, astfel, obținem:

$\begin{aligned} (x + 5)^{2} & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{aligned}$ ‍

Poți verifica acest model folosind înmulțirea pentru a dezvolta

(x + 5)^{2}

Inversarea acestui proces de dezvoltare este o formă de descompunere. Dacă rescriem ecuațiile în ordine inversă, vom avea modele pentru descompunerea polinoamelor de forma

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ‍

Putem aplica primul model pentru a descompune

x^{2} + 10 x + 25

. Aici avem

a = x

și

b = 5

$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍

Expresiile de această formă se numesc trinoame pătrate perfecte. Numele reflectă faptul că acest tip de polinom cu trei termeni poate fi exprimat ca un pătrat perfect!

Să aruncăm o privire la câteva exemple în care descompunem trinoamele pătrate perfecte folosind acest model.

Exemplul 1: Descompunerea lui $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

Observă că atât primul, cât și ultimul termen sunt pătrațe perfecte:

x^{2} = (x)^{2}

și

16 = (4)^{2}

. În plus, observă că termenul din mijloc este de două ori produsul numerelor la pătrat:

2 (x) (4) = 8 x

Asta ne spune că polinomul este un trinom pătrat perfect şi, astfel, putem folosi următorul model de descompunere:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

În cazul nostru,

a = x

și

b = 4

. Putem descompune polinomul după cum urmează:

\begin{aligned} x^{2} + 8 x + 16 & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = (x + 4)^{2} \end{aligned}

Putem verifica prin dezvoltarea lui

(x + 4)^{2}

\begin{aligned} (x + 4)^{2} & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = x^{2} + 8 x + 16 \end{aligned}

Verifică dacă ai înțeles

1) Descompune $x^{2} + 6 x + 9$ ‍.

2) Descompune $x^{2} - 6 x + 9$ ‍.

Observă că atât primul, cât și ultimul termen sunt pătrațe perfecte:

x^{2} = (x)^{2}

și

9 = (3)^{2}

. În plus, observă că termenul din mijloc este de două ori produsul numerelor la pătrat:

2 (x) (3) = 6 x

Asta înseamnă că polinomul este un trinom pătrată perfect. Putem să îl descompunem după cum urmează:

\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 9 & = (x)^{2} - 2 (x) (3) + (3)^{2} \\ = (x - 3)^{2} \end{aligned}

Observă că semnul în binom este negativ, deoarece coeficientul termenului

x

este negativ.

3) Descompune $x^{2} + 14 x + 49$ ‍.

Exemplul 2: Descompune $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Coeficientul dominant al unui trinom pătrat perfect nu este obligatoriu să fie

1

De exemplu, în

4 x^{2} + 12 x + 9

, observă că atât primul, cât și ultimul termen sunt pătrate perfecte:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

și

9 = (3)^{2}

. În plus, observă că termenul din mijloc este de două ori produsul numerelor la pătrat:

2 (2 x) (3) = 12 x

Deoarece satisface condițiile de mai sus,

4 x^{2} + 12 x + 9

este un trinom pătrat perfect. Putem aplica din nou următorul model de descompunere.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

În acest caz,

a = 2 x

și

b = 3

. Polinomul se descompune după cum urmează:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 & = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Putem face verificarea prin dezvoltarea lui

(2 x + 3)^{2}

Da! Putem, de asemenea, să descompunem

4 x^{2} + 12 x + 9

folosind metoda grupării.

Hai să începem acest proces prin a găsi divizori ai lui

4 \cdot 9 = 36

care adunați dau

12

. Aceste două numere sunt

6

și

6

deoarece

6 \cdot 6 = 36

și

6 + 6 = 12

Acum putem separa termenul

12 x

în

6 x + 6 x

și să folosim gruparea pentru a descompune polinomul:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (6 x + 9) & Gruparea termenilor \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Scoaterea CMMDC \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Factor comun! \\ = (2 x + 3) (2 x + 3) & Scoaterea lui 2 x + 3 \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Observă totuși, că, recunoscând

4 x^{2} + 12 x + 9

ca un trinom pătrat perfect, îți poate salva ceva timp!

Verifică dacă ai înțeles

4) Descompune $9 x^{2} + 30 x + 25$ ‍.

5) Descompune $4 x^{2} - 20 x + 25$ ‍.

Observă că atât primul, cât și ultimul termen sunt pătrațe perfecte:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

și

25 = (5)^{2}

. În plus, observă că termenul din mijloc este de două ori produsul numerelor la pătrat:

2 (2 x) (5) = 20 x

Asta înseamnă că polinomul este un trinom pătrată perfect. Putem să îl descompunem după cum urmează:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 20 x + 25 & = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + (5)^{2} \\ = (2 x - 5)^{2} \end{aligned}

Observă că semnul în binom este negativ, deoarece coeficientul termenului

x

este negativ.

Problemă provocare

6*) Descompune $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ ‍.

7*) Descompune $9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ ‍.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Bazele algebrei

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Introducere: Descompunerea trinoamelor pătrate perfecte

Exemplul 1: Descompunerea lui x2+8x+16‍

Verifică dacă ai înțeles

Exemplul 2: Descompune 4x2+12x+9‍

Verifică dacă ai înțeles

Problemă provocare

Vrei să te alături conversației?

Exemplul 1: Descompunerea lui $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

Exemplul 2: Descompune $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍