Conţinutul principal

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Lecția 9: Rezolvarea ecuațiilor pătratice prin factorizare

Rezolvarea pătraticelor prin descompunera în factori

Învață cum să rezolvi ecuații pătratice precum (x-1)(x+3)=0 și cum să folosești descompunerea în factori pentru a rezolva ecuații de altă formă.

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înaintea acestei lecții?

Ce vei învăța în această lecție?

Până acum ai rezolvat ecuații liniare, care includ termeni constanți - termeni liberi - și termeni cu necunoscuta ridicată la puterea întâi,

x^{1} = x

Este posibil să fi rezolvat și unele ecuații pătratice, care includ necunoscuta ridicată la pătrat, prin preluarea rădăcinii pătrate din ambele părți.

În această lecție, vei învăța o nouă metodă de a rezolva ecuațiile pătratice. Mai exact, vei învăța:

cum să rezolvi ecuații descompuse ca $(x - 1) (x + 3) = 0$ ‍ și
cum să folosești metode de descompunere în factori pentru a aduce alte ecuații $($ ‍precum $x^{2} - 3 x - 10 = 0)$ ‍ în formă descompusă și cum să le rezolvi.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice descompuse

Presupunem că ni se cere să rezolvăm ecuația pătratică

(x - 1) (x + 3) = 0

Acesta reprezintă un produs de două expresii care este egal cu zero. Ține cont că orice valoare a lui

x

care face ca

(x - 1)

(x + 3)

să fie zero, va face produsul lor zero.

\begin{aligned} (x - 1) & (x + 3) = 0 \\ ↙ & ↘ \\ x - 1 = 0 & x + 3 = 0 \\ x = 1 & x = - 3 \end{aligned}

Înlocuind

x = 1

x = - 3

în ecuație ne va face ca propoziția

0 = 0

să fie adevărată, astfel încât ambele sunt soluții ale ecuației.

Acum rezolvă câteva ecuații similare pe cont propriu.

Rezolvă $(x + 5) (x + 7) = 0$ ‍.

Rezolvă $(2 x - 1) (4 x - 3) = 0$ ‍.

Întrebare reflectivă

Poate fi aplicată aceeași metodă de rezolvare pentru ecuația $(x - 1) (x + 3) = 6$ ‍?

Metoda soluției pe care tocmai ai învățat-o se aplică doar în cazurile în care avem un produs egal cu zero.

Acest lucru se datorează faptului că numai atunci când un produs este egal cu zero știm că unul dintre factori trebuie să fie zero; nu ne pasă care este celălalt factor.

În cazul unui produs care este egal cu un număr non-zero ca

6

, nu există nicio cerință specială pentru unul dintre factori. Tot ce putem spune este despre cei doi factori împreună. De exemplu:

dacă unul dintre factori este $1$ ‍, celălalt este $6$ ‍;
dacă unul dintre factori este $2$ ‍, celălalt este $3$ ‍; sau
dacă unul dintre factori este $\frac{1}{2}$ ‍, celălalt este $12$ ‍.

Acest lucru nu ne permite să transformăm ecuația pătratică în două ecuații liniare separate .

Despre proprietatea produsului zero

Cum ştim că nu există mai multe soluţii decât cele două pe care le găsim folosind metoda noastră?

Răspunsul este verificat de o proprietate simplă dar foarte utilă, numită proprietatea produsului zero:

În cazul în care produsul a două cantități este egal cu zero, atunci cel puțin una dintre cantități trebuie să fie egală cu zero.
Știm deja că produsul oricărui număr cu zero este egal cu zero, dar acest principiu ne spune că dacă produsul este zero, atunci este sigur că unul dintre factori este zero.
Gândește-te la cazul în care ambii factori nu sunt zero. În acest caz, produsul nu ar fi nici el zero. De exemplu, nu se poate înmulți nimic cu $2$ ‍ pentru a obține zero, cu excepția lui zero.
Prin urmare, pentru ca un produs să fie zero, unul dintre factori trebuie să fie zero.

Înlocuim oricare valoare pentru

x

cu excepția soluțiilor noastre în produsul celor două numere non-zero, ceea ce înseamnă că produsul nu este zero. Prin urmare, ştim că soluţiile noastre sunt singurele posibile.

Rezolvare prin descompunere

Presupunem că vrem să rezolvăm ecuația

x^{2} - 3 x - 10 = 0

. Atunci tot ce trebuie să facem este să descompunem

x^{2} - 3 x - 10

și să rezolvăm ca înainte!

x^{2} - 3 x - 10

poate fi descompusă ca

(x + 2) (x - 5)

Din moment ce coeficientul dominant - coeficientul pentru

x^{2}

—este

1

, putem folosi modelul de sumă-produs.

În conformitate cu modelul sumă-produs, dacă găsim două numere

a

și

b

astfel încât

a + b = - 3

și

a \cdot b = - 10

, atunci

x^{2} - 3 x - 10 = (x + a) (x + b)

Prin luarea în considerare a perechilor de numere întregi al căror produs este

- 10

și apoi eliminarea celor a căror sumă nu este

- 3

, descoperim că numerele de care avem nevoie sunt

a = 2

și

b = - 5

Prin urmare, expresia descompusă este $(x + 2) (x - 5)$ ‍.

Soluţia completă a ecuaţiei ar fi următoarea:

$\begin{aligned} x^{2} - 3 x - 10 & = 0 \\ (x + 2) (x - 5) & = 0 & Descompunem. \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 2 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 2 & x & = 5 \end{aligned}$ ‍

Acum este rândul tău să rezolvi câteva ecuații pe cont propriu. Ține minte că ecuațiile diferite necesită metode de descompunere diferite.

Rezolvă $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Pasul 1. Descompune $x^{2} + 5 x$ ‍ ca produs a două expresii liniare.

Pasul 2. Rezolvă ecuația.

Rezolvă $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Pasul 1. Descompune $x^{2} - 11 x + 28$ ‍ ca produs a două expresii liniare.

Din moment ce coeficientul dominant - coeficientul lui

x^{2}

—este

1

, putem folosi modelul de sumă-produs.

În conformitate cu modelul sumă-produs, dacă găsim două numere

a

și

b

astfel încât

a + b = - 11

și

a \cdot b = 28

, atunci

x^{2} - 11 x + 28 = (x + a) (x + b)

Prin luarea în considerare a perechilor de numere întregi al căror produs este

28

și apoi eliminarea celor a căror sumă nu este

- 11

, descoperim că numerele de care avem nevoie sunt

a = - 4

și

b = - 7

Prin urmare, expresia descompusă este $(x - 4) (x - 7)$ ‍.

Pasul 2. Rezolvă ecuația.

Rezolvă $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Pasul 1. Descompune $4 x^{2} + 4 x + 1$ ‍ ca produs a două expresii liniare.

Pasul 2. Rezolvă ecuația.

Am descoperit deja că

4 x^{2} + 4 x + 1

poate fi descompus ca

(2 x + 1)^{2}

. Prin urmare, putem rezolva ecuația după cum urmează.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x + 1 & = 0 \\ (2 x + 1)^{2} & = 0 & Descompunem. \end{aligned}$ ‍

În acest caz, avem un produs în care cei doi factori sunt identici:

2 x + 1

. Nu este nevoie să rezolvi două ecuații. Singura situație în care

(2 x + 1)^{2}

este zero are loc dacă

2 x + 1

este zero.

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 \\ x & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$ ‍

În concluzie, ecuația are o singură soluție, $x = - \frac{1}{2}$ ‍.

Rezolvă $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.

Pasul 1. Descompune $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ ca produs a două expresii liniare.

Din moment ce coeficientul dominant - coeficientul lui

x^{2}

—este altul decât

1

, putem folosi metoda grupării.

Pentru a face asta, ar trebui mai întâi să găsim două numere

a

și

b

astfel încât

a + b = 11

și

a b = (3) (- 4) = - 12

Prin luarea în considerare a perechilor de numere întregi al căror produs este

- 12

și apoi eliminarea celor a căror sumă nu este

11

, descoperim că numerele de care avem nevoie sunt

a = 12

și

b = - 1

. Acum, rescriem

11 x

(12 x - x)

și grupăm.

$\begin{aligned} 3 x^{2} + 11 x - 4 \\ = 3 x^{2} + 12 x - x - 4 \\ = 3 x (x + 4) - 1 (x + 4) \\ = (3 x - 1) (x + 4) \end{aligned}$ ‍

În concluzie, $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ poate fi descompusă ca $(3 x - 1) (x + 4)$ ‍.

Pasul 2. Rezolvă ecuația.

Aranjarea ecuației înainte de descompunere

Una dintre părți trebuie să fie zero.

Modul în care se calculează soluția ecuației

x^{2} + 2 x = 40 - x

este următorul:

$\begin{aligned} x^{2} + 2 x & = 40 - x \\ x^{2} + 2 x - 40 + x & = 0 & Scădem 40 și adunăm x . \\ x^{2} + 3 x - 40 & = 0 & Grupăm termenii asemenea. \\ (x + 8) (x - 5) & = 0 & Descompunem. \end{aligned}$ ‍

\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 8 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 8 & x & = 5 \end{aligned}

Înainte să descompunem, am rescris ecuaţia ca toţi termenii asemenea să fie în aceeaşi parte, iar cealaltă parte să fie zero. Numai atunci am putut să descompunem şi să folosim metoda de rezolvare.

Eliminarea factorilor comuni

Modul în care se rezolvă ecuația

2 x^{2} - 12 x + 18 = 0

este următorul:

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 12 x + 18 & = 0 \\ x^{2} - 6 x + 9 & = 0 & Împărțim la 2. \\ (x - 3)^{2} & = 0 & Descompunem. \\ ↓ \\ x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

Toți termenii inițiali au avut un factor comun pe

2

, așa că am împărțit în toate părțile la

2

- partea cu zero a rămas zero - ceea ce a făcut mai ușoară descompunerea.

Acum rezolvă câteva ecuații similare pe cont propriu.

Determină soluțiile ecuației.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = x^{2} + 34$ ‍

Determină soluțiile ecuației.

$3 x^{2} + 33 x + 30 = 0$ ‍

Determină soluțiile ecuației.

$3 x^{2} - 9 x - 20 = x^{2} + 5 x + 16$ ‍

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Bazele algebrei

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înaintea acestei lecții?

Ce vei învăța în această lecție?

Rezolvarea ecuațiilor pătratice descompuse

Întrebare reflectivă

Despre proprietatea produsului zero

Rezolvare prin descompunere

Rezolvă x2+5x=0‍ .

Rezolvă x2−11x+28=0‍ .

Rezolvă 4x2+4x+1=0‍ .

Rezolvă 3x2+11x−4=0‍ .

Aranjarea ecuației înainte de descompunere

Una dintre părți trebuie să fie zero.

Eliminarea factorilor comuni

Vrei să te alături conversației?

Rezolvă $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Rezolvă $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Rezolvă $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Rezolvă $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.