Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 6

Lecția 1: Introducere în compunerea funcțiilor

Introducere în compunerea funcțiilor

Printr-un exemplu cu o fermă, îți arătăm ce înseamnă și cum poți să compui două funcții.

Cornel este agricultor. El plantează porumb în fiecare an. Funcția de mai jos ne dă cantitatea de porumb,

C

, exprimată în kilograme (kg), pe care se așteaptă să o recolteze de pe

a

acri de teren agricol.

$C (a) = 7500 a - 1500$ ‍

De exemplu, pentru doi acri plantați, Cornel se așteaptă să producă

C (2) = 7500 (2) - 1500 = 13 500

kg

de porumb.

Cornel ar vrea să știe cât va câștiga din vânzarea porumbului și folosește funcția următoare pentru a face o predicție a sumei,

M

, exprimată în dolari, încasată din vânzarea a

c

kilograme de porumb.

$M (c) = 0, 9 c - 50$ ‍

Astfel, dacă ar produce

13 500 kg

de porumb, Cornel se așteaptă să obțină

M (13 500) = 0, 9 (13 500) - 50 = $ 12 100

Observă că el trebuie să folosească două funcții separate pentru a calcula câștigul așteptat de pe suprafața cultivată. Prima funcție,

C

, calculează producția de porumb în funcție de suprafață, iar cea de-a doua funcție,

M

, calculează suma încasată în funcție de cantitatea de porumb.

Nu ar fi mai ușor dacă ar scrie o funcție care să calculeze direct câștigul în funcție de suprafața cultivată?

Formarea unei noi funcții

Într-adevăr, putem găsi funcția care calculează câștigul direct pe baza suprafeței plantate! Pentru a determina această funcție, hai să ne gândim la întrebarea generală: câți bani se așteaptă Cornel să câștige dacă el plantează porumb pe o suprafață de

a

acri?

Ei bine, dacă el plantează porumb pe

a

acri, se așteaptă să producă

C (a)

kilograme de porumb. Și dacă produce

C (a)

kilograme de porumb, se așteaptă să câștige

M (C (a))

dolari.

Deci, pentru a determina regula generală care calculează câștigurile direct din

a

acri, folosim expresia

M (C (a))

Bine, dar cum facem asta>? Iată, observăm că în expresia

M (C (a))

, argumentul funcției

M

este

C (a)

. Deci, pentru a afla expresia, putem pune

C (a)

în locul lui

c

în funcția

M

$\begin{aligned} M (c) & = 0, 9 c - 50 \\ M (C (a)) & = 0, 9 (C (a)) - 50 \\ = 0, 9 (7500 a - 1500) - 50 Deoarece C (a) = 7500 a - 1500 \\ = 6750 a - 1350 - 50 \\ = 6750 a - 1400 \end{aligned}$ ‍

Așadar, funcția

M (C (a)) = 6750 a - 1400

calculează câștigul așteptat direct în funcție de acrii plantați. Hai să folosim această nouă funcție pentru a estima suma de bani pe care poate să o câștige Cornel din plantarea cu porumb a unei suprafețe de doi acri.

$M (C (2)) = 6750 (2) - 1400 = $ 12 100$ ‍

Cornel se așteaptă să încaseze

$ 12 100

din plantarea a doi acri de teren cu porumb, ceea ce este în concordanță cu calculul pe care l-am făcut anterior.

Definirea funcțiilor compuse

Tocmai am aflat ceea ce se numește o funcție compusă. În loc să punem acrii plantați în funcția care calculează cantitatea de porumb și apoi să punem această cantitate în funcția pentru calcularea sumei de bani, noi am găsit o funcție care direct pe baza suprafeței plantate calculează câștigul așteptat.

Am făcut lucrul acesta înlocuind

C (a)

în funcția

M

sau, altfel spus, calculând

M (C (a))

. Hai să notăm această nouă functie cu

M \circ C

, care se citește "

M

compus cu

C

Acum știm că

(M \circ C) (a) = M (C (a))

. De fapt, aceasta este definiția formală a operației de compunere a două funcții!

Vizualizarea celor două metode

Iată o reprezentare grafică prin care putem interpreta definiția de mai sus.

Folosind ambele funcții

C

și

M

, funcția

C

—care calculează cantitatea de porumb—din argumentul doi obține 13 500. Apoi, funcția

M

—care calculează suma de bani—pentru argumentul 13 500 obține suma de

$

12 100.

Folosind funcția compusă, vedem că

M \circ C

are ca argument doi și valoarea calculată este

$

12 100.

Cele două sunt echivalente!

Acum să ne antrenăm cu niște probleme.

Problema 1

Folosind funcțiile prezentate în exemplul anterior, cât se așteaptă Cornel să câștige din porumbul produs pe o suprafață de 1,5 acri?

Pentru referință: $C (a) = 7500 a - 1500$ ‍, $M (c) = 0, 9 c - 50$ ‍ și $M (C (a)) = 6750 a - 1400$ ‍

dolari

Deoarece tocmai ce am construit funcția compusă care calculează câștigul direct pe baza suprafeței plantate, hai să o folosim pentru a afla răspunsul la întrebare.

Știm că

M (C (a)) = 6750 a - 1400

. Putem calcula suma pe care se așteaptă Cornel să o câștige dacă el plantează porumb pe 1,5 acri punând 1,5 în locul lui

a

chiar în formula de mai sus.

$\begin{aligned} M (C (a)) & = 6750 a - 1400 \\ M (C (1, 5)) & = 6750 (1, 5) - 1400 \\ = 8725 \end{aligned}$ ‍

Cornel se poate aștepta să câștige

$

8725 din vânzarea porumbului produs pe o suprafață de 1,5 acri de pământ.

Alternativ, am fi putut folosi funcția

C

pentru a calcula porumbul produs în funcție de acri și apoi funcția

M

pentru a calcula suma câștigată din porumb; totuși, pentru că deja am găsit funcția compusă, este mai eficient să o folosim pe aceasta!

Problema 2

Ben cultivă cartofi. Funcția

P (a) = 25 000 a - 1000

calculează cantitatea de cartofi,

P

, exprimată în kilograme, pe care se așteaptă să o producă pe o suprafață de teren de

a

acri. Funcția

M (p) = 0, 2 p - 200

calculează suma de bani,

M

, exprimată în dolari, pe care se așteaptă să o câștige dacă produce

p

kilograme de cartofi.

La ce sumă câștigată se poate aștepta Ben, dacă vinde toată cantitatea de cartofi produsă pe 3 acri?

O modalitate de rezolvare ar fi să înlocuim suprafața plantată în funcția care calculează cantitatea de cartofi, pentru a afla cantitatea produsă. Apoi, putem folosi rezultatul ca argument al funcției ce calculează suma. Hai să facem așa!

Mai întâi, hai să calculăm

P (3)

$\begin{aligned} P (3) & = 25 000 (3) - 1000 \\ = 74 000 \end{aligned}$ ‍

Acum, hai să calculăm

M (74 000)

$\begin{aligned} M (74 000) & = 0, 2 (74 000) - 200 \\ = 14 600 \end{aligned}$ ‍

Alternativ, am fi putut să determinăm funcția compusă, apoi să folosim trei ca parametru al acestei funcții. Iată calculul mai jos.

$\begin{aligned} M (P (a)) & = 0, 2 (P (a)) - 200 \\ = 0, 2 (25 000 a - 1000) - 200 \\ = 5000 a - 200 - 200 \\ = 5000 a - 400 \\ M (P (3)) & = 5000 (3) - 400 \\ = 14 600 \end{aligned}$ ‍

Oricare metodă am fi folosit, vedem că Ben se așteaptă să câștige

$

14 600 din vânzarea tuturor cartofilor produși pe o suprafață de 3 acri.

Problema 3

Care dintre următoarele expresii calculează suma de bani pe care se așteaptă Ben să o câștige dacă el plantează cartofi pe $a$ ‍ acri de teren?

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.