Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 6

Lecția 2: Inversa unei funcții

Determinarea funcțiilor inverse

Învață să determini expresia funcției inverse a unei funcții date. De exemplu, determină inversa funcției f(x)=3x+2.

Funcţiile inverse, în sensul cel mai general, sunt funcţii care "se inversează" una pe cealălaltă. De exemplu, dacă

f

asociază argumentului

a

valoarea

b

, atunci funcția sa inversă,

f^{- 1}

, trebuie să asocieze argumentului

b

valoarea

a

Sau, cu alte cuvinte,

f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a

În acest articol vei învăța cum să edtermini expresia funcției inverse când se dă expresia funcției directe.

Înainte de a începe...

În această lecție, vom determina inversa funcției

f (x) = 3 x + 2

Înainte de aceasta, hai să ne gândim cum am putea afla valoarea lui

f^{- 1} (8)

Pentru a afla

f^{- 1} (8)

, trebuie să identificăm acel argument pentru

f

căruia îi corespunde valoarea

8

. Justificare: dacă

f^{- 1} (8) = x

, atunci, conform definiției inversei,

f (x) = 8

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ 8 & = 3 x + 2 & Avem f(x)=8 \\ 6 & = 3 x & Scădem 2 din ambele părți \\ 2 & = x & Împărțim ambele părți la 3 \end{aligned}

Deci

f (2) = 8

, ceea ce înseamnă că

f^{- 1} (8) = 2

Determinarea funcțiilor inverse

Putem generaliza ceea ce am făcut mai sus, astfel încât să aflăm

f^{- 1} (y)

pentru orice

y

Pentru a afla

f^{- 1} (y)

, putem să identificăm acel argument pentru

f

căruia îi corespunde valoarea

y

. Justificare: dacă

f^{- 1} (y) = x

, atunci, conform definiției inversei,

f (x) = y

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Avem f(x)=y \\ y - 2 & = 3 x & Scădem 2 din ambele părți \\ \frac{y - 2}{3} & = x & Împărțim ambele părți la 3 \end{aligned}

Deci

f^{- 1} (y) = \frac{y - 2}{3}

Deoarece alegerea variabilei este arbitrară, putem scrie astfel:

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

Deoarece funcția inversă inversează argumentele cu valorile, o altă modalitate de a determina

f^{- 1}

ar fi să interschimbăm (schimbăm între ele) valorile inițiale pentru

x

și

y

, apoi să rezolvăm ecuația în necunoscuta

y

, pentru a scrie expresia funcției inverse.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Înlocuim f(x) cu y \\ x & = 3 y + 2 & Interschimbăm x și y \\ x - 2 & = 3 y & Scădem 2 din ambele părți \\ \frac{x - 2}{3} & = y & Împărțim ambele părți la 3 \end{aligned}

Deci

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

Observă asemănările între cele două metode. În fiecare dintre ele, se rezolvă ecuația în necunoscuta care nu este izolată. Principala diferență apare la inversarea variabilelor (necunoscutelor). (În prima metodă se face la sfârșit, în timp ce în a doua metodă se inversează la început.)

Verifică dacă ai înțeles

1) Funcție liniară

Determină inversa funcției $g (x) = 2 x - 5$ ‍.

g^{- 1} (x) =

2) Funcție cubică

Determină inversa funcției $h (x) = x^{3} + 2$ ‍.

h^{- 1} (x) =

Pentru a începe, înlocuiește

h (x)

y

. Apoi, rezolvă în

x

\begin{aligned} h (x) & = x^{3} + 2 \\ y & = x^{3} + 2 & Înlocuim h(x) cu y \\ y - 2 & = x^{3} & Scădem 2 din ambele părți \\ \sqrt[3]{y - 2} & = x & Extragem rădăcina cubică din ambele părți \\ \sqrt[3]{y - 2} & = h^{- 1} (y) & Înlocuim x cu h^{- 1} (y) \end{aligned}

Deoarece alegerea variabilei este arbitrară, acum putem interschimba

y

x

pentru a rescrie inversa în variabila

x

h^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 2}

3) Funcţie radical de ordin trei

Determină inversa funcției $f (x) = 4 \cdot \sqrt[3]{x}$ ‍.

f^{- 1} (x) =

Pentru a începe, înlocuiește

f (x)

y

. Apoi, rezolvă în

x

\begin{aligned} f (x) & = 4 \sqrt[3]{x} \\ y & = 4 \sqrt[3]{x} & Înlocuim f(x) cu y \\ \frac{y}{4} & = \sqrt[3]{x} & Împărțim ambele părți la 4 \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = x & Ridicăm la puterea a treia ambele părți \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = f^{- 1} (y) & Înlocuim x cu f^{- 1} (y) \end{aligned}

Deoarece alegerea variabilei este arbitrară, acum putem interschimba

y

x

pentru a rescrie inversa în variabila

x

Deci

f^{- 1} (x) = {(\frac{x}{4})}^{3}

f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}

4) Funcții raționale

Determină inversa funcției $g (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ‍.

g^{- 1} (x) =

Pentru a începe, înlocuiește

g (x)

y

. Apoi, rezolvă în

x

\begin{aligned} g (x) & = \frac{x - 3}{x - 2} \\ y & = \frac{x - 3}{x - 2} & Înlocuim g(x) cu y \\ y (x - 2) & = x - 3 & Înmulțim ambele părți cu x-2 \\ y x - 2 y & = x - 3 & Desfacem paranteza \\ y x - x & = 2 y - 3 & Grupăm toți termenii în x într-o parte \\ x (y - 1) & = 2 y - 3 & Scoatem factor comun un x \\ x & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Împărțim ambele părți la y-1 \\ g^{- 1} (y) & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Înlocuim x cu g^{- 1} (y) \end{aligned}

Deoarece alegerea variabilei este arbitrară, acum putem interschimba

y

x

pentru a rescrie inversa în variabila

x

$g^{- 1} (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ ‍

5) Problemă provocare

Asociază fiecărei funcții tipul inversei sale.

1

Poți termina această problemă fără a afla exact inversele. Doar gândește-te cu ce operații "întorci" funcția. Sau folosește ceea ce am făcut mai sus, dacă asta te ajută.

Funcția	Tip inversă
$f (x) = 3 x - 5$ ‍	Liniară
$g (x) = x^{3} - 7$ ‍	Rădăcină cubică
$h (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ ‍	Rațională
$j (x) = \sqrt{x + 2}$ ‍	Pătratică

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.