If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 6

Lecția 3: Verificarea funcțiilor inverse
Matematică
Algebră pentru liceu
Alte operații și proprietăți
Verificarea funcțiilor inverse
© 2024 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Verificarea funcțiilor inverse prin compunere

Clasa Google
Înveți cum să verifici dacă două funcții sunt una inversa celeilalte, prin operația de compunere. De exemplu, funcțiile f(x)=5x-7 și g(x)=x/5+7 sunt inverse una alteia?
În acest articol compunem o serie de funcții. Dacă ai nevoie de o recapitulare pe acest subiect, îți recomandăm să mergi aici înainte de a citi acest articol.
Funcţiile inverse, în sensul cel mai general, sunt funcţii care "se inversează" una pe cealălaltă. De exemplu, dacă o funcție asociază argumentului a valoarea b, atunci funcția sa inversă trebuie să asocieze argumentului b valoarea a.
De exemplu, să luăm următoarele funcții f și g: f(x)=x+13 și g(x)=3x−1.
Observă că f(5)=2 și g(2)=5.
Aici vedem că atunci când aplicăm f urmat de g, ajungem înapoi la datele inițiale. Scris sub formă de compunere, avem g(f(5))=5.
Dar pentru ca două funcţii să fie inverse una alteia, trebuie să arătăm că acest lucru se întâmplă pentru toate argumentele posibile, indiferent de ordinea în care sunt aplicate f și g . Acest lucru dă naștere regulii de compunere a inverselor.

Regula de compunere a inverselor

Iată care sunt condițiile pentru ca două funcții f și g să fie una inversa celeilalte:
  • f(g(x))=x pentru oricare x din domeniul de definiție al lui g
  • g(f(x))=x pentru oricare x din domeniul de definiție al lui f
Justificare: Dacă f și g sunt inverse una celeilalte, compunerea f cu g (în oricare ordine) conduce la “funcția identitate", adică acea funcție care duce îi asociază fiecărui element chiar pe el însuși.

Exemplul 1: Funcțiile f și g formează pereche de funcții inverse

Hai să folosim regula de compunere a inverselor pentru a verifica dacă f și g sunt, într-adevăr, una inversa celeilalte.
Să ne amintim că f(x)=x+13 și g(x)=3x−1.
Hai să determinăm f(g(x)) și g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x
Așadar, vedem că funcțiile f și g sunt una inversa celeilalte, deoarece f(g(x))=x și g(f(x))=x.

Exemplul 2: Funcțiile f și g nu formează pereche de funcții inverse

Dacă f(g(x)) sau g(f(x)) nu coincide x, atunci f și g nu pot forma pereche de funcții inverse.
Hai să încercăm pentru f(x)=5x−7 și g(x)=x5+7.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285
Așadar, funcțiile f și g nu sunt inverse una celeilalte, deoarece f(g(x))≠x și g(f(x))≠x.
(Observăm că am fi putut spune că f și g nu sunt inverse după ce arătam că f(g(x))=x+28.)

Verifică dacă ai înțeles

În general, pentru a verifica dacă f și g sunt funcții inverse una celeilalte, putem să le compunem. Dacă ajungem la x, funcțiile respective formează pereche de funcții inverse. Altfel, nu formează o asemenea pereche.

1) f(x)=2x+7 și h(x)=x−72

Scrie expresiile simplificate pentru f(h(x)) și h(f(x)), în variabila x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Funcțiile f și h sunt una inversa celeilalte?
Alege un răspuns:

2) f(x)=4x+10 și g(x)=14x−10

Scrie expresiile simplificate pentru f(g(x)) și g(f(x)), în variabila x.
f(g(x))=
g(f(x))=
Funcțiile f și g sunt una inversa celeilalte?
Alege un răspuns:

3) f(x)=23x−8 și h(x)=32(x+8)

Scrie expresiile simplificate pentru f(h(x)) și h(f(x)), în variabila x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Funcțiile f și h sunt una inversa celeilalte?
Alege un răspuns:

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.