Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 9

Lecția 1: Introducere în logaritmi

Introducere în logaritmi

Clasa Google

Învață ce sunt și cum se calculează logaritmii.

Ce ar trebui să cunoști înainte să începi această lecție

Ar trebui să fii familiar cu puterile, preferabil și cu exponenți negativi.

Ce vei învăța în această lecție

Vei învăța ce sunt logaritmii și cum se calculează unii logaritmi elementari.

Ce este un logaritm?

Logaritmii sunt un alt mod de a gândi exponenții.

De exemplu, știm că

2

ridicat la puterea a

4^{-a}

este egal cu

16

. Aceasta se poate scrie ca o egalitate exponențială astfel:

2^{4} = 16

Acum să presupunem că ești întrebat: "La ce putere trebuie ridicat

2

pentru a obține

16

?" Răspunsul este

4

. De data aceasa, putem scrie egalitatea logaritmică

\log_{2} (16) = 4

, pe care o citim "logaritm în baza doi din șaisprezece este egal cu patru".

2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4

Cele două egalități descriu aceeași relație între numerele

2

4

și

16

, unde

2

reprezintă baza și

4

reprezintă exponentul.

Spre deosebire de forma exponențială care separă puterea,

16

, forma logaritmică separă exponentul,

4

Iată mai jos și alte exemple de echivalență între scrierea logaritmică și cea exponențială.

Forma logaritmică		Forma exponențială
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

Definiția unui logaritm

Generalizând exemplele de mai sus, ajungem la o definiție formală a noțiunii de logaritm.

\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a

Cele două egalități descriu aceeași relați între

a

b

și

c

$b$ ‍ este $baza$ ‍,
$c$ ‍ este $exponentul$ ‍, iar
$a$ ‍ se numește $argument$ ‍.

Observație utilă

Când rescriem din forma exponențială în forma logaritmică sau reciproc, este util să ne amintim că baza logaritmului este aceeași bază care se ridică la exponent.

Verifică dacă ai înțeles

În exercițiile următoare, vei transforma egalități din forma exponențială la cea logaritmică și invers.

Problema 1

Care dintre egalitățile următoare este echivalentă cu $2^{5} = 32$ ‍?

Problema 2

Care dintre egalitățile următoare este echivalentă cu $5^{3} = 125$ ‍?

Problema 3

Scrie $\log_{2} (64) = 6$ ‍ în forma exponențială.

Problema 4

4) Scrie $\log_{4} (16) = 2$ ‍ în forma exponențială.

Evaluarea logaritmilor

Minunat! Acum, pentru că înțelegem relația dintre exponenți și logaritmi, hai să vedem cum putem calcula logaritmii.

De exemplu, să calculăm

\log_{4} (64)

Să începem cu identificarea expresiei egale cu

x

\log_{4} (64) = x

Scrierea acesteia ca egalitate exponențială este următoarea:

4^{x} = 64

La ce putere trebuie ridicat

4

ca să obținem

64

? Ei bine,

4^{3} = 64

, ceea ce înseamnă că

\log_{4} (64) = 3

Pe măsură ce te antrenezi, vom comasa câțiva pași, iar cerința de calculare a lui

\log_{4} (64)

va fi scrisă astfel " $4$ ‍ la ce putere face $64$ ‍?"

Verifică dacă ai înțeles

Ține minte, când calculezi

\log_{b} (a)

, te întrebi: "

b

la ce putere face

a

Problema 5

\log_{6} (36) =

Problema 6

\log_{3} (27) =

Problema 7

\log_{4} (4) =

Problema 8

\log_{5} (1) =

Problemă provocare

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

Restricții privind variabilele

\log_{b} (a)

este bine definită atunci când baza

b

este pozitivă—și diferită de

1

—și argumentul

a

este pozitiv. Aceste restricții rezultă din legătura dintre logaritmi și exponenți.

Restricție	Justificare
$b > 0$ ‍	Într-o funcție exponențială, baza $b$ ‍ este întotdeauna pozitivă.
$a > 0$ ‍	$\log_{b} (a) = c$ ‍ înseamnă că $b^{c} = a$ ‍. Deoarece orice putere a unui număr pozitiv este pozitivă, adică $b^{c} > 0$ ‍, înseamnă că $a > 0$ ‍.
$b \neq 1$ ‍	Să presupunem că $b$ ‍ ar putea fi $1$ ‍ și să ne uităm la egalitatea $\log_{1} (3) = x$ ‍. Forma exponențială ar fi $1^{x} = 3$ ‍. Dar acest lucru este imposibil, căci $1$ ‍ la ridicat la orice putere face $1$ ‍. Așadar, este clar că $b \neq 1$ ‍.

Logaritmi speciali

Chiar dacă putem folosi diverse valori pentru baza unui logaritm, două dintre ele sunt mult mai des folosite decât celelalte.

Mai exact, majoritatea calculatoarelor au butoane doar pentru aceste două tipuri de logaritmi. Hai să îi vedem.

Logaritmul zecimal

Logaritmul zecimal este un logaritm în baza

10

(chiar i se spune "logaritm în baza

10

").

La scrierea matematică a acestor logaritmi, obișnuim să nu mai scriem baza. Se înțelege că este

10

\log_{10} (x) = \log (x)

Logaritm natural

Logaritmul natural este un logaritm care are ca bază numărul

e

(i se spune "logaritm în baza

e

").

La acest logaritm, în loc să indicăm baza

e

, obișnuim să scriem

\ln

\log_{e} (x) = \ln (x)

În tabelul de mai jos, sumarizăm informațiile de reținut despre acești doi logaritmi speciali:

Nume	Baza	Notația obișnuită	Notația specială
Logaritm zecimal	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
Logaritm natural	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

Chiar dacă notațiile diferă, ideea pe care se bazează calcularea logaritmilor este exact aceeași!

De ce studiem logaritmii?

După cum tocmai ai învățat, logaritmul este conceptul invers exponentului. De aceea, logaritmii sunt de mare ajutor în rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

De exemplu, soluția ecuației

2^{x} = 5

poate fi exprimată ca un logaritm:

x = \log_{2} (5)

. În lecțiile următoare, vei învăța să evaluezi asemenea expresii logaritmice.

Expresiile și funcțiile logaritmice sunt foarte interesante de studiat, dar le aplicăm frecvent în viața reală. De exemplu, multe fenomene fizice se măsoară folosind mărimi logaritmice.

Ce urmează?

Învață despre proprietățile logaritmilor care ne ajută la rescrierea unor expresii logaritmice, dar și despre regula de schimbare a bazei care ne permite să evaluăm orice logaritm folosind un calculator.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 9

Introducere în logaritmi

Ce ar trebui să cunoști înainte să începi această lecție

Ce vei învăța în această lecție

Ce este un logaritm?

Definiția unui logaritm

Observație utilă

Verifică dacă ai înțeles

Evaluarea logaritmilor

Verifică dacă ai înțeles

Restricții privind variabilele

Logaritmi speciali

Logaritmul zecimal

Logaritm natural

Exemplul 1

Soluția 1

Exemplul 2

Soluția 2

De ce studiem logaritmii?

Ce urmează?

Vrei să te alături conversației?