Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 4

Lecția 5: Operații cu funcții

Înmulțirea șî împărțirea funcțiilor

Afli cum putem să înmulțim și să împărțim două funcții pentru a crea o nouă funcție.

La fel cum înmulțim și împărțim numere, putem să înmulțim și să împărțim funcții. De exemplu, dacă avem funcțiile

f

și

g

, putem crea două funcții noi:

f \cdot g

și

\frac{f}{g}

Înmulțirea a două funcții

Exemplu

Hai să luăm un exemplu, ca să vezi cum se lucrează.

Fiind date funcțiile

f (x) = 2 x - 3

și

g (x) = x + 1

, determină funcția

(f \cdot g) (x)

Soluție

Cea mai dificilă parte în operațiile cu funcții constă în înțelegerea notației. Ce înseamnă

(f \cdot g) (x)

Ei bine,

(f \cdot g) (x)

înseamnă pur și simplu să calculăm produsul dintre

f (x)

și

g (x)

. Matematic, aceasta înseamnă că

(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)

Acum, problema a devenit ceva mai familiară.

\begin{aligned} (f \cdot g) (x) & = f (x) \cdot g (x) & Definim. \\ = (2 x - 3) \cdot (x + 1) & Înlocuim. \\ = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 & Desfacem parantezele. \\ = 2 x^{2} - x - 3 & Grupăm termenii asemenea. \end{aligned}

Observație: Am simplificat rezultatul pentru a avea o expresie mai drăguță, dar acest lucru nu este obligatoriu.

Hai să încercăm niște probleme de antrenament.

Problema 1

\begin{aligned} c (y) = 3 y - 4 \\ d (y) = 3 - 2 y \end{aligned}

Determină $(c \cdot d) (y)$ ‍.

Problema 2

\begin{aligned} m (x) = x^{2} - 3 x \\ n (x) = x - 5 \end{aligned}

Evaluează $(m \cdot n) (- 1)$ ‍.

Împărțirea a două funcții

Împărțirea a două funcții funcționează în mod similar. Iată un exemplu.

Exemplu

h (n) = 2 n - 1

și

j (n) = n + 3

Hai să găsim

(\frac{j}{h}) (n)

Soluție

Prin definiție,

(\frac{j}{h}) (n) = \frac{j (n)}{h (n)}

Acum putem rezolva problema.

\begin{aligned} (\frac{j}{h}) (n) & = \frac{j (n)}{h (n)} & Definim. \\ = \frac{n + 3}{2 n - 1} & Înlocuim. \end{aligned}

Două observații importante privind această funcție:

În forma curentă, această funcție este simplificată.
Argumentul $n = \frac{1}{2}$ ‍ nu este valid pentru această funcție. Justificare: $2 n - 1 = 0$ ‍ în $n = \frac{1}{2}$ ‍, iar împărțirea la $0$ ‍ nu este definită.

Hai să încercăm niște probleme de antrenament

Problema 3

\begin{aligned} g (t) = t^{2} - 4 \\ h (t) = t + 8 \end{aligned}

Determină $(\frac{g}{h}) (t)$ ‍.

Problema 4

\begin{aligned} p (r) = 5 r - 2 \\ q (r) = r + 2 \end{aligned}

Evaluează $(\frac{p}{q}) (4)$ ‍.

Problema 5

\begin{aligned} f (x) = x + 4 \\ g (x) = x - 3 \end{aligned}

Pentru ce valoare a lui $x$ ‍ funcția $(\frac{f}{g}) (x)$ ‍ nu este definită?

Aplicație

Joana aleargă în fiecare zi o distanță și un timp care depind de numărul de ore,

h

, lucrate de ea. Distanța

D

, exprimată în mile, și timpul

T

, exprimat în minute, pe care le aleargă sunt date de funcțiile

D (h) = - 0, 5 h + 8, 5

și, respectiv,

T (h) = - 6 h + 90

Fie

S

funcția care reprezintă viteza medie de alergare a Joanei într-o zi în care ea lucrează

h

ore.

Problema 6

Care este definiția corectă a funcției $S$ ‍?

Problemă provocare

În imaginea de mai jos, sunt date graficele funcțiilor

y = f (x)

și

y = g (x)

Care este graficul funcției $y = (f \cdot g) (x)$ ‍?

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.