Interpretarea comportamentului funcțiilor definite prin integrale (articol)

În calculul diferențial am studiat proprietățile unei funcții

f

pe baza informației date de derivata ei

f^{'}

. În calculul integral, în loc să vorbim despre funcții și derivatele lor, vom vorbi despre funcții și primitivele lor.

Analizarea lui $g$ ‍ după graficul lui $g^{'} = f$ ‍

Se dă graficul funcției

f

Fie

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

. Definită în acest mod,

g

este o primitivă a lui

f

. În calculul diferențial am scrie asta ca

g^{'} = f

. Deoarece

f

este derivata lui

g

, ne putem gândi la propietățile lui

g

în mod similar cu ceea ce am făcut în calculul diferențial.

Spre exemplu,

f

este pozitivă pe intervalul

[0, 10]

, deci

g

trebuie să fie crescătoare pe acest interval.

În plus,

f

își schimbă semnul în

x = 10

, astfel că

g

trebuie să aibă un extremum aici. Deoarece

f

trece de la plus la minus, acest punct trebuie să fie unul de maxim.

Exemplele anterioare arată cum putem găsi intervalele pe care

g

este crescătoare sau descrescătoare și care sunt extremele ei relative. Ne putem pronunța și despre concavitataea lui

g

. Deoarece

f

este crescătoare pe intervalul

[- 2, 5]

, știm că

g

este convexă pe acest interval. Și deoarece

f

este descrescătoare pe intervalul

[5, 13]

, știm că

g

este concavă pe acest interval.

g

își schimbă convexitatea în

x = 5

, deci acesta este un punct de inflexiune.

Problema 1

Se dă graficul lui

f

Fie

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

Care este o justificare bazată pe analiză potrivită pentru faptul că $g$ ‍ este convexă pe intervalul $(5, 10)$ ‍?

Problema 2

Se dă graficul lui

f

Fie

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

Care este o justificare potrivită bazată pe analiză pentru faptul că $g$ ‍ are un minim relativ în $x = 8$ ‍?

(Varianta A)
$f (8) = 0$ ‍
(Varianta B)
$f$ ‍ este conexă pe un interval din jurul lui $x = 6$ ‍.
(Varianta C)
$f$ ‍ este negativă înainte de $x = 8$ ‍ și pozitivă după $x = 8$ ‍.
(Varianta D)
Există un interval în graficul lui $g$ ‍ în jurul lui $x = 8$ ‍ în care $g (8)$ ‍ ia cea mai mică valoare.

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.

Este important să știm clar care proprietăți ale funcției sunt legate de care propietăți ale primitivei sale. Mulți le confundă și fac presupuneri greșite, cum ar fi că primitiva este pozitivă deoarece funcția este crescătoare (de fapt, este invers).

Acest tabel rezumă toate relațiile dintre proprietățile unei funcții și ale primitivei sale.

Când funcția $f$ ‍ este...	Primitiva $g = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ‍ is...
Pozitivă $+$ ‍	Crescătoare $↗$ ‍
Negativă $-$ ‍	Descrescătoare $↘$ ‍
Crescătoare $↗$ ‍	Convexă $\cup$ ‍
Descrescătoare $↘$ ‍	Concavă $\cap$ ‍
Schimbare de semn / taie axa O $x$ ‍	Punct de extrem
Punct de extrem	Punct de inflexiune

Problemă provocare

Se dă graficul lui

f

Fie

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

Care este o justificare potrivită bazată pe analiză pentru faptul că $g$ ‍ este pozitivă pe intervalul $[7, 12]$ ‍?

(Varianta A)
Pentru orice valoare a lui $x$ ‍ din intervalul $[7, 12]$ ‍, valoarea lui $f (x)$ ‍ este zero.
(Varianta B)
Pentru orice valoare a lui $x$ ‍ din intervalul $[7, 12]$ ‍, valoarea lui $g (x)$ ‍ este pozitivă.
(Varianta C)
$f$ ‍ este pozitivă pe $[0, 7]$ ‍ și nenegativă pe $[7, 12]$ ‍.
(Varianta D)
$f$ ‍ nu este nici convexă și nici concavă pe intervalul $[7, 12]$ ‍.

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Interpretarea comportamentului funcțiilor definite prin integrale

Analizarea lui $g$ ‍ după graficul lui $g^{'} = f$ ‍

Vrei să te alături conversației?

Calcul integral

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Analizarea lui g‍ după graficul lui g′=f‍

Vrei să te alături conversației?

Analizarea lui $g$ ‍ după graficul lui $g^{'} = f$ ‍