Conţinutul principal

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Lecția 4: Definirea integralelor folosind sume Riemann

Definește integrale ca limite de sume Riemann

Sumele Riemann ne ajută să aproximăm integralele definite, dar și să definim formal integralele definite. Învățăm cum facem asta și cum putem să comutăm de la reprezentarea ariei ca integrală definită la o sumă Riemann.

Integralele definite reprezintă aria de sub graficul unei funcții, iar sumele Riemann ne ajută la aproximarea unei astfel de arii. Întrebarea este: există un mod de a găsi valoarea exactă a integralei definite?

Sume Riemann cu un număr "infinit" de dreptunghiuri

Să presupunem că vrem să găsim aria de sub graficul lui

f (x) = \frac{1}{5} x^{2}

între

x = 2

și

x = 6

Folosind notația integralei definite, putem reprezenta aria exactă:

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Putem aproxima această arie folosind sume Riemann. Fie

R (n)

suma Riemann dreapta care aproximează aria folosind

n

subdiviziuni egale (adică

n

dreptunghiuri de lățimi egale).

Spre exemplu, aceasta este

R (4)

. Se poate vedea că ea este o supraestimare a ariei actuale.

Putem aproxima mai bine dacă împărțim aria în mai multe dreptunghiuri care au lățimile mai mici, adică folosim

R (n)

pentru valori mai mari ale lui

n

Putem observa cum aproximația se apropie de aria actuală când numărul dreptunghiurilor merge de la

1

100

Desigur, folosind și mai multe dreptunghiuri ne apropiem și mai mult, dar o aproximație rămâne totdeauna aproximație.

Ce ar fi să luăm o sumă Riemann cu un număr infinit de subdiviziuni egale? Este asta posibil? Ei bine, nu putem pune

n = \infty

deoarece infinit nu este un număr real, dar ne reamintim că avem o posibilitate să ducem ceva către infinit.

Limite!

Concret, această limită:

lim_{n \to \infty} R (n)

Fapt uimitor #1: Această limită chiar dă valoarea exactă a integralei

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Fapt uimitor #2: Nu contează dacă luăm limita unei sume Riemann dreapta, a unei sume Riemann stânga sau a oricărei aproximații obișnuite. La infinit, vom obține todeauna valoarea exactă a integralei definite.

(Demonstrația riguroasă a acestor fapte este prea elaborată pentru acest articol. Aceasta nu constituie o problemă, deoarece noi suntem interesați de înțelegerea legăturii dintre sumele Riemann și integralele definite.)

Până acum, am folosit

R (n)

ca notație pentru aproximarea cu sumă Riemann dreapta cu

n

subdiviziuni. Acum hai să găsim expresia reală.

Scurtă revizuire: Considerăm

Δ x

lățimea

constantă a oricărui dreptunghi și

x_{i}

, valoarea lui

x

în partea din dreapta a celui de al

i -lea

dreptunghi. Atunci

f (x_{i})

va da

înălțimea

fiecărui dreptunghi.

\begin{aligned} Δ x & = \frac{6 - 2}{n} = \frac{4}{n} \\ x_{i} & = 2 + Δ x \cdot i = 2 + \frac{4}{n} i \\ f (x_{i}) & = \frac{1}{5} (x_{i})^{2} = \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2} \end{aligned}

Deci, aria celui de al

i -lea

dreptunghi este

\frac{4}{n} \cdot \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2}

și adunăm pentru valorile lui

i

de la

1

n

R (n) = \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n}

Acum putem considera aria reală ca o limită:

\begin{aligned} \int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x \\ = lim_{n \to \infty} R (n) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n} \end{aligned}

Prin definiție, integrala definită este limita sumei Riemann

Exemplul anterior este un caz particular al definiției generale pentru integralele definite:

Integrala definită a unei funcții continue

f

pe intervalul

[a, b]

, notată prin

\int_{a}^{b} f (x) d x

, este limita unei sume Riemann cu numărul de subdiviziuni tinzând către infinit. Adică,

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})

unde

Δ x = \frac{b - a}{n}

și

x_{i} = a + Δ x \cdot i

Dacă se cere să scriem o sumă Riemann pentru o integrală definită...

Să presupunem că s-a cerut să scriem următoarea integrală definită ca limita unei sume Riemann.

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x

Mai întâi, să găsim

Δ x

\begin{aligned} Δ x & = \frac{b - a}{n} \\ = \frac{2 π - π}{n} \\ = \frac{π}{n} \end{aligned}

Acum, că avem

Δ x

, putem găsi

x_{i}

\begin{aligned} x_{i} & = a + Δ x \cdot i \\ = π + \frac{π}{n} \cdot i \\ = π + \frac{π i}{n} \end{aligned}

Deci,

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{π}{n} \cdot \cos (π + \frac{π i}{n})

Antrenează-te cu scrierea sumelor Riemann pentru integrale definite

Problema 1

\int_{0}^{3} e^{x} d x = ?

Problema 2

\int_{1}^{e} \ln x d x = ?

Greșeli frecvente: Alegerea greșită a expresiei pentru $Δ x$ ‍

Spre exemplu, în Problema 2, ne putem imagina cum un elev ar putea defini

Δ x

ca fiind

\frac{e}{n}

\frac{1}{n}

în loc de

\frac{e - 1}{n}

. Alt exemplu este folosirea lui

d x

pentru

Δ x

. Reamintim că

d x

este folosit numai în notația integralei, nu în sumă. Asta ne spune doar că integrarea se face în raport de

x

Greșeli frecvente: Alegerea greșită a expresiei pentru $x_{i}$ ‍

Cineva ar putea să uite să adune

a

Δ x \cdot i

, rezultând o expresie greșită. Spre exemplu, în Problema 2, ar putea defini

x_{i}

ca fiind

\frac{e - 1}{n} \cdot i

în loc de

1 + \frac{e - 1}{n} \cdot i

Dacă se cere să scriem o integrală definită pentru limita unei sume Riemann...

Să presupunem că se cere să găsim o integrală definită care este echivalentă acestei limite:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Asta înseamnă că trebuie să găsim intervalul de integrare

[a, b]

și funcția de integrat

f (x)

. Apoi, integrala definită corespunzătoare va fi

\int_{a}^{b} f (x) d x

Noi știm că fiecare sumă Riemann are două părți: o lățime

Δ x

și o înățime

f (x_{i})

pentru fiecare dreptunghi din sumă. Privind la această limită particulară, putem face alegerea potrivită pentru ambele părți.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Dreptunghiuri de lățime uniformă: Expresia

\frac{5}{n}

este o alegere potrivită pentru lățimea dreptunghiurilor

Δ x

, deoarece ea nu depinde de indexul

i

. Aceasta înseamnă că

Δ x

va fi aceeași pentru fiecare termen din sumă, ceea ce așteptăm de la o sumă Riemann în care dreptunghiurile au aceeași lățime.

Dreptunghiuri de înălțime variabilă: Expresia

\ln (2 + \frac{5 i}{n})

depinde de

i

, care ar fi bine să reprezinte înălțimea,

f (x_{i})

. Cea mai naturală alegere pentru

x_{i}

este

2 + \frac{5 i}{n}

. Deci, vom continua cu aceasta, ceea ce înseamnă că funcția de integrat este

f (x) = \ln (x)

Pentru a identifica limitele de integrare

a

și

b

, să ne întoarcem la definiția generală a lui

Δ x

și

x_{i}

în relația care definește integrala.

Cum definisem mai sus,

x_{i} = a + Δ x \cdot i

. În acest caz,

x_{i} = 2 + \frac{5 i}{n}

poate fi scris

2 + \frac{5}{n} i

, așa că

a

trebuie să fie egal cu

2

Așa cum am definit anterior,

Δ x = \frac{b - a}{n}

. În cazul nostru,

Δ x = \frac{5}{n}

. Ambii numitori sunt

n

, așa că numărătorii trebuie să fie egali cu:

b - a = 5

. Știind că

a = 2

, putem concluziona că

b = 7

Punând totul laolaltă, iată integrala definită care este egală cu limita sumei Riemann:

\int_{2}^{7} \ln (x) d x

Antrenament cu scrierea integralelor definite pentru sume Riemann

Problema 3.A

Problema 3 te va duce prin pașii găsirii integralei definite reprezentată prin această expresie:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(3 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{n}

Care este $Δ x$ ‍ în această expresie?

Dificultăți frecvente: Dificultatea găsirii lui $Δ x$ ‍ în expresia sumei Riemann

Când expresia de însumare este elaborată și include mai multe fracții, poate fi greu de identificat care parte este

Δ x

Reamintim că $Δ x$ ‍ trebuie să fie un factor al expresiei de însumare sub forma $\frac{k}{n}$ ‍, unde $k$ ‍ nu trebuie să conțină indexul de însumare $i$ ‍.

Altă dificultate frecventă: Dificultatea găsirii limitelor de integrare

Observăm din Problema 3 faptul că

Δ x = \frac{4}{n}

ne spune că

b - a = 4

. Acest lucru este folositor, dar fără găsirea lui

a

, noi nu vom ști care sunt

a

și

b

. Putem găsi

a

folosind faptul că

x_{i} = 3 + \frac{4 i}{n}

O greșeală comună este să presupunem imediat că dacă, spre exemplu, $Δ x = \frac{4}{n}$ ‍, atunci limitele de integrare ar fi $[0, 4]$ ‍.

O ultimă dificultate frecventă: Dificultatea analizei generale a expresiei

Unii nu știu de unde să înceapă.

Începe cu expresa sumei. Ar trebui să identifici doi factori: unul de forma $\frac{k}{n}$ ‍ (unde $k$ ‍ nu conține indicele de sumare $i$ ‍) și altul este o funcție de $i$ ‍. Primul ne va da $Δ x$ ‍ și altul ne va da $f (x_{i})$ ‍.

Problema 4

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{4 + \frac{5 i}{n}} \cdot \frac{5}{n} = ?

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Calcul integral