Notația cu sigma (articol) | Integrale

Notația cu sumă (sau notația cu sigma) ne permite să scriem o sumă lungă într-o singură expresie.

Explicarea semnificației notației cu sigma

Simbolul sigma este acesta:

\sum

. El ne spune că însumăm ceva.

Să începem cu un exemplu elementar:

\begin{aligned} Se oprește la n = 3 \\ (inclusiv) \\ ↘ \\ \sum_{n = 1}^{3} & 2 n - 1 \\ ↖ \\ ↗ & Expresia pentru fiecare \\ Începe la n = 1 & termen al sumei \end{aligned}

Notația cu sigma a expresiei

2 n - 1

pentru toate valorile întregi ale lui

n

de la

1

3

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} 2 n - 1 \\ = \underset{n = 1}{\underset{⏟}{[2 (1) - 1]}} + \underset{n = 2}{\underset{⏟}{[2 (2) - 1]}} + \underset{n = 3}{\underset{⏟}{[2 (3) - 1]}} \\ = 1 + 3 + 5 \\ = 9 \end{aligned}

Observă cum am înlocuit pe

n = 1

n = 2

și

n = 3

în

2 n - 1

și am însumat termenii rezultați.

n

este indexul sumei. Când evaluăm o expresie cu notația sigma, dăm diverse valori indexului pentru a forma valorile termenilor.

Problema 1

\sum_{n = 1}^{4} n^{2} = ?

Putem începe și opri suma la orice valori ale lui

n

. De exemplu, pentru suma de mai jos

n

ia valori de la

4

până la

6

\begin{aligned} \sum_{n = 4}^{6} n - 1 \\ = \underset{n = 4}{\underset{⏟}{(4 - 1)}} + \underset{n = 5}{\underset{⏟}{(5 - 1)}} + \underset{n = 6}{\underset{⏟}{(6 - 1)}} \\ = 3 + 4 + 5 \\ = 12 \end{aligned}

Putem folosi orice literă dorim pentru index. De exemplu, expresia următoare are ca index pe

i

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{2} 3 i - 5 \\ = \underset{i = 0}{\underset{⏟}{[3 (0) - 5]}} + \underset{i = 1}{\underset{⏟}{[3 (1) - 5]}} + \underset{i = 2}{\underset{⏟}{[3 (2) - 5]}} \\ = - 5 + (- 2) + 1 \\ = - 6 \end{aligned}

Problema 2

\sum_{k = 3}^{5} k (k + 1) =

Problema 3

Se consideră suma

4 + 25 + 64 + 121

Care expresie este egală cu suma de mai sus?

Unele expresii sumă au și alte variabile în afară de index. Să considerăm suma:

\sum_{n = 1}^{4} \frac{k}{n + 1}

Observă că indexul este

n

, nu

k

. Aceasta înseamnă că înlocuim valorile lui

n

, iar

k

rămâne neschimbat:

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} \frac{k}{n + 1} \\ = \frac{k}{(1) + 1} + \frac{k}{(2) + 1} + \frac{k}{(3) + 1} \\ = \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} \end{aligned}

De reținut: Înainte de evaluarea unei sume scrise cu notația sigma, întotdeauna să te asiguri că identifici indexul și că înlocuiești numai valorile lui. Celelalte necunoscute ar trebui să rămână nemodificate.

Problema 4

\sum_{m = 1}^{4} 8 k - 6 m = ?

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Notația cu sigma

Explicarea semnificației notației cu sigma

Vrei să te alături conversației?