Conţinutul principal

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Lecția 12: Integrarea prin metoda schimbării de variabilă

Schimbarea de variabilă

Schimbarea de variabilă, în esență, inversează derivarea funcției compuse. Cu alte cuvinte, ne ajută să integrăm funcții compuse.

Când determinăm primitive, în fapt parcurgem "în sens invers derivarea." Unele cazuri sunt chiar directe. De exemplu, știm că derivata lui

x^{2}

este

2 x

, deci

\int 2 x d x = x^{2} + C

. Putem folosi acest raționament simplu și pentru alte funcții elementare, precum

\sin (x)

e^{x}

\frac{1}{x}

, etc.

Alte cazuri, totuși, nu sunt simple. De exemplu, cât este

\int \cos (3 x + 5) d x

? Indiciu: nu este

\sin (3 x + 5) + C

. Încearcă să o derivezi și vei vedea de ce nu este.

O metodă foarte utilă ar fi schimbarea de variabilă, care în fapt inversează derivarea funcției compuse.

Schimbarea de variabilă pentru integrale nedefinite

Imaginează-ți că ni se cere să determinăm

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

. Observăm că

2 x

este derivata lui

x^{2}

, care este funcția "interioară" din funcția compusă

\cos (x^{2})

. Cu alte cuvinte, notând

u (x) = x^{2}

și

w (x) = \cos (x)

, avem:

\overset{u^{'}}{\overset{⏞}{2 x}} \underset{w}{\underset{⏟}{\cos (\overset{u}{\overset{⏞}{x^{2}}})}} = u^{'} (x) w (u (x))

Aceasta ne sugerează că se cere schimbarea de variabilă

u

. Să vedem cum se face.

Mai întâi, derivăm ecuația

u = x^{2}

în raport de

x

, în timp ce îl considerăm pe

u

ca o funcție implicită de

x

\begin{aligned} u & = x^{2} \\ \frac{d}{d x} [u] & = \frac{d}{d x} [x^{2}] \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ d u & = 2 x d x \end{aligned}

În ultima linie, am înmulțit egalitatea cu

d x

, deci l-am izolat pe

d u

. Nu este foarte frumos, dar e util pentru pasul următor. Deci, avem

u = x^{2}

și

d u = 2 x d x

. Acum putem să facem o schimbare în integrală:

\begin{aligned} \int 2 x \cos (x^{2}) d x \\ = \int \cos (\underset{u}{\underset{⏟}{x^{2}}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{2 x d x}} & Rearanjăm. \\ = \int \cos (u) d u & Înlocuim. \end{aligned}

După înlocuire, rămânem cu o expresie pentru primitiva lui

\cos (u)

în funcție de

u

. Ce confortabil!

\cos (u)

este o funcție elementară pentru care găsim primitiva foarte simplu. Singurul lucru care a mai rămas este să rescriem funcția înapoi în funcție de

x

\begin{aligned} \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C \end{aligned}

În concluzie,

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

este

\sin (x^{2}) + C

. Poți să derivezi

\sin (x^{2}) + C

ca să verifici dacă este adevărat.

Cheie de reținut #1: Schimbarea de variabilă este chiar tot ce înseamnă inversarea procesului de derivare a funcției compuse:

Conform derivării funcției compuse, derivata lui $w (u (x))$ ‍ este $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍.
La schimbarea de variabilă, luăm o expresie de forma $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍ și îi determinăm primitiva $w (u (x))$ ‍.

Cheie de reținut #2: Schimbarea de variabilă ne ajută să luăm o expresie dezordonată și să o simplificăm transformând funcția "interioară" în variabilă (argument).

Problema 1.A

Setul de probleme 1 ne va duce prin toți pașii determinării integralei următoare folosind schimbarea de variabilă.

\int (6 x^{2}) (2 x^{3} + 5)^{6} d x = ?

Cum ar trebui definit $u$ ‍?

Greșeală frecventă: alegerea incorectă a expresiilor pentru $u$ ‍ sau $d u$ ‍

Alegerea greșită a expresiei pentru

u

va conduce la un rezultat greșit. De exemplu, în setul de probleme 1,

u

trebuie definit ca

2 x^{3} + 5

. Nu va funcționa niciodată dacă îl vom nota pe

u

6 x^{2}

(2 x^{3} + 5)^{6}

Amintește-ți: Pentru schimbarea de variabilă, trebuie să putem scrie funcția de integrat ca

w (u (x)) \cdot u^{'} (x)

. Apoi,

u

trebuie definit ca funcția interioară a funcției compuse.

Un alt pas esențial în acest proces este determinarea lui

d u

. Asigură-te că derivezi corect pe

u

, deoarece o expresie greșită pentru

d u

va conduce la un rezultat greșit.

Problema 2

Lui Tim i s-a cerut să determine

\int \cos (5 x - 7) d x

. Iată ce a făcut el:

\int \cos (5 x - 7) d x = \sin (5 x - 7) + C

Este corect ce a făcut Tim? Dacă nu, care este greșeala pe care a făcut-o?

(Varianta A)
Tim a lucrat corect.
(Varianta B)
Tim nu a lucrat corect. Primitiva lui $\cos (x)$ ‍ nu este $\sin (x)$ ‍.
(Varianta C)
Tim nu a lucrat corect. El a ignorat faptul că $\cos (5 x - 7)$ ‍ este o funcție compusă.
(Varianta D)
Tim nu a lucrat corect. Nu ar fi trebuit să adune o constantă $C$ ‍ la determinarea integralei nedefinite.

Greșeală frecventă: nu se înțelege când este folosită schimbarea de variabilă

Amintește-ți: Când integrăm o funcție compusă, nu putem luar pur și simplu primitiva funcției exterioare. Trebuie să folosim schimbarea de variabilă.

Notând cu

W

primitiva lui

w

, exprimăm acest aspect astfel:

\int w (u (x)) d x \neq W (u (x)) + C

Altă greșeală frecventă: confundarea funcției interioare cu derivata sa

Imaginează-ți că încerci să determini

\int x^{2} \cos (2 x) d x

. Ai putea spune că "deoarece

2 x

este derivata lui

x^{2}

, putem folosi schimbarea de variabilă." De fapt, deoarece schimbarea de variabilă necesită derivarea funcției interioare,

x^{2}

trebuie să fie derivata lui

2 x

pentru ca schimbarea de variabilă să funcționeze. Dar, cum nu este cazul, schimbarea de variabilă nu se aplică în această situație.

Uneori trebuie să înmulțim/împărțim integrala cu o constantă.

Imaginează-ți că ni se cere să determinăm

\int \sin (3 x + 5) d x

. Observăm că avem o funcție compusă

\sin (3 x + 5)

,care nu este înmulțită cu nimic. Poate părea frustrant la început, dar hai să vedem ce se întâmplă.

Notăm

u = 3 x + 5

, apoi

d u = 3 d x

. Acum facem schimbarea de variabilă în integrală, nu înainte de a face următoarea prelucrare isteață:

\int \sin (3 x + 5) d x = \frac{1}{3} \int \sin (3 x + 5) 3 d x

Vezi ce am făcut aici? Ca să avem

3 d x

în funcția de integrat, am înmulțit toată integrala cu

\frac{1}{3}

. Asta ne permite să schimbăm variabila dar și să păstrăm valoarea integralei.

Să continuăm cu schimbarea de variabilă:

\begin{aligned} \frac{1}{3} \int \sin (\underset{u}{\underset{⏟}{3 x + 5}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{3 d x}} \\ = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u \\ = - \frac{1}{3} \cos (u) + C \\ = - \frac{1}{3} \cos (3 x + 5) + C \end{aligned}

Cheie de reținut: Uneori trebuie să înmulțim sau să împărțim toată integrala cu o constantă, astfel încât să obținem forma potrivită pentru schimbarea de variabilă fără a schimba forma integralei.

Problema 3

\int (2 x + 7)^{3} d x = ?

Vrei să te antrenezi mai mult? Vezi acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Calcul integral