Conţinutul principal

Explorarea acumulării schimbării

Integralele definite sunt interpretate ca o acumulare de cantități. Învață de ce este așa și cum le putem folosi pentru a analiza situații din viața reală.

Integrala definită poate fi folosită pentru a evidenția informații despre acumulare și schimbare netă în diverse situații din viața reală. Să vedem cum se face!

Despre acumulare în situații din viața reală

Să presupunem că un rezervor se umple cu apă la o rată constantă de

5 L/min

(litri pe minut) timp de

6 min

. Putem calcula volumul de apă (în

L

) înmulțind timpul cu rata:

\begin{aligned} Volumul & = Timp \times Rata \\ = 6 min \cdot 5 \frac{L}{min} \\ = 30 \frac{min \cdot L}{min} \\ = 30 L \end{aligned}

Acum să analizăm grafic această situație. Rata poate fi reprezentată ca funcția constantă

r_{1} (t) = 5

Fiecare unitate orizontală din grafic se măsoară în minute, iar fiecare unitate verticală se măsoară în litri pe minut, deci aria fiecărui pătrat unitate este măsurată în litri:

În continuare, aria dreptunghiului mărginit de graficul lui

r_{1}

și axa orizontală, de la

t = 0

până la

t = 6

, ne dă volumul apei după

6

minute:

Acum, să zicem că se umple un alt rezervor, dar de data aceasta rata nu mai este constantă:

Ce putem spune despre volumul de apă pentru acest rezervor după

6

minute? Pentru asta, să ne gândim la o aproximare cu sumă Riemann a ariei de sub curbă, de la

t = 0

până la

t = 6

. Pentru a respecta convențiile, să folosim o aproximare pentru care fiecare dreptunghi are lățimea de

1

minut.

Am văzut că fiecare dreptunghi reprezintă un volum în litri. Mai exact, fiecare dreptunghi din această sumă Riemann este o aproximare a volumului de apă care a intrat în bazin în fiecare minut. Când adunăm toate aceste arii, adică atunci când se acumulează toate volumele, obținem o aproximare pentru volumul total de apă după

6

minute.

Pe măsură ce folosim mai multe dreptunghiuri de lățimi mai mici, vom obține o aproximare mai bună. Dacă mergem la infinit cu un număr infinit de dreptunghiuri, vom obține integrala definită

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t

. Aceasta înseamnă că volumul exact de apă după

6

minute este egal cu aria mărginită de graficul lui

r_{2}

și axa orizontală de la

t = 0

până la

t = 6

Astfel, calculul integral ne permite să calculăm volumul după

6

minute:

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24, 5 L

Integrala definită a ratei schimbării unei cantități dă schimbarea netă a acelei cantități.

În exemplul pe care l-am văzut, avem o funcție care descria rata. În cazul nostru, era rata volumului în raport de timp. Integrala definită a acelei funcții ne-a dat acumularea de volum—acea cantitate a cărei rată s-a dat.

Un alt aspect important a fost intervalul de timp al integralei definite. În acest caz, intervalul de timp începea la

(t = 0)

și dura

6

minute, adică până la

(t = 6)

. Deci integrala definită ne-a dat schimbarea netă a cantității de apă din rezervor în intervalul de timp

t = 0

până la

t = 6

Există două feluri uzuale în care putem privi integralele definite: descriu o acumulare a unei cantități, deci întreaga integrală definită ne dă schimbarea netă a acelei cantități.

De ce spunem "schimbare netă" a cantității și nu pur și simplu cantitate?

Folosind exemplul de mai sus, să observăm că nu ni s-a spus dacă în rezervor era sau nu vreo cantitate de apă înainte de

t = 0

. Dacă rezervorul ar fi fost gol, atunci

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24.5 L

reprezenta chiar cantitatea de apă din rezervor după

6

minute. Dar dacă rezervorul ar mai fi avut dinainte apă, să zicem

7

litri de apă, atunci volumul real de apă din rezervor după

6

minute ar fi:

\underset{volum la t = 0}{\underset{⏟}{7}} + \overset{schimbare de volum între t = 0 și t = 6}{\overset{⏞}{\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t}}

Aceasta înseamnă aproximativ

7 + 24, 5 = 31, 5 L

Reține: Integrala definită întotdeauna ne dă schimbarea netă a unei cantități, nu valoarea actuală a acesteia. Pentru a determina valoarea actuală, trebuie să adăugăm o condiție inițială la integrala definită.

Problema 1.A

Setul de probleme 1 ne va conduce prin întregul proces de analiză a situației care conține schimbarea:

Pe perioada de timp

t

, o populație de bacterii crește cu rata de

r (t)

grame pe zi, unde

t

se măsoară în zile.

Care sunt unitățile de măsură pentru cantitate reprezentate de integrala definită $\int_{0}^{8} r (t) d t$ ‍?

Greșeală frecventă: Folosirea unităților nepotrivite

Ca în toate problemele aplicative, unitățile joacă un rol important și aici. Amintește-ți că dacă

r

este o funcție rată măsurată în

\frac{Cantitatea A}{Cantitatea B}

, atunci integrala sa definită se măsoară în

Cantitatea A

De exemplu, în setul de probleme 1,

r

se măsura în

\frac{grame}{zi}

, astfel că integrala definită a lui

r

se măsura în

grame

Problema 2

Eden s-a plimbat la o rată de

r (t)

kilometri pe oră (unde

t

este timpul exprimat în ore).

Ce înseamnă $\int_{2}^{3} r (t) d t = 6$ ‍?

(Varianta A)
Eden s-a plimbat $6$ ‍ kilometri în fiecare oră.
(Varianta B)
Eden s-a plimbat $6$ ‍ kilometri în $3$ ‍ ore.
(Varianta C)
Eden s-a plimbat $6$ ‍ kilometri pe parcursul cele de-a treia ore.
(Varianta D)
Rata lui Eden a crescut cu $6$ ‍ kilometri pe oră între a $2$ ‍-a și a $3$ ‍-a oră.

Greșeală frecventă: Interpretarea greșită a intervalului de integrare

Pentru orice funcție rață

r

, integrala definită

\int_{a}^{b} r (t) d t

descrie acumularea de valori între $t = a$ ‍ și $t = b$ ‍.

Are loc o greșeală frecventă legată de limite (de obicei, cea inferioară), ceea ce conduce la o interpretare greșită.

De exemplu, în Problema 2, ar fi o greșeală să interpretăm

\int_{2}^{3} r (t) d t

ca distanța parcursă de Eden în

3

ore. Limita inferioară este

2

, deci

\int_{2}^{3} r (t) d t

este distanța parcursă de Eden între a

2 -a

oră și a

3 -a

oră. Mai mult, în situațiile în care intervalul este de exact o unitate, obișnuim să spunem "pe parcursul celei de-a

3 -a

ore."

Problema 3

Venitul Juliei este de

r (t)

mii de dolari pe lună (unde

t

este luna din an). Julia a făcut

3

mii dolari în prima lună din an.

Ce înseamnă $3 + \int_{1}^{5} r (t) d t = 19$ ‍?

(Varianta A)
Julia a mai făcut încă $19$ ‍ mii de dolari între lunile $1$ ‍ și $5$ ‍.
(Varianta B)
Julia a făcut în medie $19$ ‍ mii de dolari pe lună.
(Varianta C)
Julia a făcut $19$ ‍ de dolari în a cincea lună.
(Varianta D)
Până la sfârșitul lunii a cincea, Julia a făcut în total $19$ ‍ mii de dolari.

Greșeală frecventă: Ignorarea condițiilor inițiale

Pentru o funcție rată

f

și primitivă

F

, integrala definită

\int_{a}^{b} f (t) d t

dă schimbarea netă a lui

F

de la

t = a

până la

t = b

F

De exemplu, în Problema 3,

\int_{1}^{5} r (t) d t

reprezintă schimbarea sumei de bani a Juliei între luna

1

și luna a

5 -a

. Dar pentru că am adunat

3

, ceea ce reprezintă suma pe care o avea Julia în luna

1

, expresia reprezintă acum suma actuală în luna a

5 -a

Legătura cu rate de schimbare aplicate

În calculul diferențial, am învățat că derivata

f^{'}

a unei funcții

f

ne dă rata de schimbare instantanee a lui

f

pentru o anumită valoare. Acum mergem în sens invers! Pentru orice funcție rată

f

, primitiva sa

F

ne dă cantitatea acumulată a cărei rată este descrisă de

f

	Cantitate	Rată
Derivare	$f (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍
Integrare	$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ‍	$f (x)$ ‍

Problema 4

Funcția

k (t)

dă cantitatea de ketchup (în kilograme) produsă de o fabrică de sosuri în timpul

t

(exprimat în ore) într-o anumită zi.

Ce reprezintă $\int_{0}^{4} k^{'} (t) d t$ ‍?

(Varianta A)
Cantitatea de ketchup produsă în primele $4$ ‍ ore.
(Varianta B)
Rata de producție instantanee la momentul $t = 4$ ‍.
(Varianta C)
Timpul necesar pentru a produce $4$ ‍ kilograme de ketchuo.
(Varianta D)
Rata medie de schimbare a producției de ketchup în primele $4$ ‍ ore.

Vrei mai mult antrenament? Vezi acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 8

Despre acumulare în situații din viața reală

Integrala definită a ratei schimbării unei cantități dă schimbarea netă a acelei cantități.

De ce spunem "schimbare netă" a cantității și nu pur și simplu cantitate?

Greșeală frecventă: Folosirea unităților nepotrivite

Greșeală frecventă: Interpretarea greșită a intervalului de integrare

Greșeală frecventă: Ignorarea condițiilor inițiale

Legătura cu rate de schimbare aplicate

Vrei să te alături conversației?