Conţinutul principal

Curs: Calculatoare și Internet > Unitatea 1

Lecția 2: Numere binare

Numere în sistemul binar

📺 Ai prefera să înveți despre numerele binare din lecții video? Sari peste acest articol și urmărește videoclipurile.

Oamenii preferă să reprezinte numerele în sistemul zecimal. Ne este ușor să numărăm până la zece:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

După cum am aflat adineaori, calculatoarele procesează informația sub formă de biți. Pentru a reprezenta numere folosind doar cifre de

0

și

1

, calculatoarele folosesc sitemul numeric binar numit și baza 2. Iată cum numărăm până la zece ca un calculator:

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

Să ne amintim: Numerele zecimale

Înainte să explorăm modul de funcționare al sistemului numeric binar, să ni-l reamintim pe vechiul nostru prieten, sistemul zecimal. Când ai învățat să numeri, spuneai despre cifra cea mai din dreapta că ocupă ordinul "unităților", următoarea este la ordinul "zecilor", următoarea al "sutelor", șamd.

Putem spune și astfel: cifra cea mai din dreapta se înmulțește cu

1

, cea din stânga ei se înmulțește cu

10

, următoarea se înmulțește cu

100

Să vizualizăm numărul

234

$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
ordinul sutelor	ordinul zecilor	ordinul unităților
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍

Dacă înmulțim fiecare cifră cu ordinul ei, vedem că

234

înseamnă

(2 \times 100) + (3 \times 10) + (4 \times 1)

Putem privi ordinele și ca puteri ale lui 10. Ordinul unităților indică înmulțirea cu

10^{0}

, ordinul zecilor indică înmulțirea cu

10^{1}

, iar ordinul sutelor indică înmulțirea cu

10^{2}

. Pentru fiecare ordin cu care ne mutăm spre stânga, înmulțim cifra de pe poziția corespunzătoare cu următoarea putere a lui

10

2	3	4
ordinul sutelor	ordinul zecilor	ordinul unităților
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍
$10^{2}$ ‍	$10^{1}$ ‍	$10^{0}$ ‍

Numerele binare

Sistemul binar funcționează în același mod ca sistemul zecimal. Diferența este că în loc să înmulțim cifra cu o putere a lui

10

, o înmulțim cu o putere a lui $2$ ‍.

Să luăm numărul zecimal

1

, exprimat în format binar ca

0001

$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Asta înseamnă

(0 \times 8) + (0 \times 4) + (0 \times 2) + (1 \times 1)

0 + 0 + 0 + 1

Bine, poate că în acest caz era evident — acum să încercăm un număr mai mare!

Numărul zecimal

10

se scrie în format binar

1010

$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Asta înseamnă

(1 \times 8) + (0 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1)

8 + 0 + 2 + 0

. Deci întradevăr, numărul binar

1010

este egal cu numărul zecimal

10

Acum încearcă tu: cum ai scrie numărul zecimal

6

în format binar?

Dacă ai reușit să rezolvi exemplele, bravo! Dacă nu, nu e nicio problemă: există tehnici care te vor ajuta să faci transformările de la o bază de numerație la alta și va fi mult mai ușor după ce le înveți.

Conversia de la zecimal la binar

Uite metoda mea preferată de a trece numerele din baza zece în baza doi (de la sistemul zecimal la sistemul binar):

Ia o foaie de hârtie sau o tablă.
Trasează câte o liniuță pentru fiecare bit. Dacă numărul e mai mic decât $16$ ‍, trasează $4$ ‍ liniuțe. Altfel, pentru numere până la $255$ ‍, trasează $8$ ‍ liniuțe. Pentru numerele mai mari e nevoie de mai mulți biți și durează mai mult să facem conversia manual, așa că ne vom concentra pe numerele mai mici.
Scrie puterile lui $2$ ‍ sub fiecare liniuță. Începe din dreapta, cu $1$ ‍, apoi continuă să înmulțești cu $2$ ‍.
Acum începe de la stânga și pune-ți întrebarea "Este numărul meu mai mare sau egal ca valoarea acestui ordin?" Dacă da, atunci scrie $1$ ‍ deasupra liniuței și micșorează numărul dat cu valoarea ordinului. Dacă nu, atunci scrie $0$ ‍ deasupra liniuței și treci la următoarea poziție.
Continuă de la stânga la dreapta, ținând cont de cât mai ai de reprezentat din număr. Odată ce ai terminat de reprezentat întregul număr, vei fi găsit echivalentul binar!

Iată cum arată procedeul pentru numărul zecimal

6

"Hmm, 6 este mai mic decât 16, deci 4 biți sunt cu siguranță suficienți..."

\frac{}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Păi 6 e mai mic decât 8, deci voi scrie un 0 prima dată..."

\frac{0}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"6 este mai mare decât 4, aşa că voi scrie 1 aici..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Ok, 6 - 4 = 2, deci mai trebuie să reprezint 2. Stai să notez asta..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

(Rămas: 2)

"2 e egal cu 2, aşa că voi scrie 1 în continuare..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

"2 - 2 = 0, deci nu mai am nimic de reprezentat!"

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

(Rămas: 0)

"Voi completa ultimul bit cu un 0, deoarece am terminat numărul..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{0}{1}

În caz că te întrebi: există doar un singur mod de a scrie un număr în format binar, la fel cum nu există decât un sigur mod în care să scriem un număr zecimal. Orice tehnică folosită pentru a transforma un număr zecimal în scriere binară trebuie să dea același rezultat.

Acum încearcă și tu o conversie, folosind tehnica anterioară sau o modalitate proprie.

Cum ai reprezenta numărul zecimal

11

în format binar?

Să încercăm un număr mai mare. Cum ai reprezenta numărul zecimal

25

în format binar?

Modele în numere binare

La ultimele două întrebări ai convertit numere impare. E ceva interesant la numerele impare în format binar. Iată câteva numere impare pentru a-ți da seama:

Zecimal	Binar
$3$ ‍	$0011$ ‍
$5$ ‍	$0101$ ‍
$7$ ‍	$0111$ ‍
$9$ ‍	$1001$ ‍

Observi modelul?

Verifică dacă ai înțeles

Dacă ți-ai dat seama, vezi care dintre următoarele numere binare foarte lungi sunt impare:

De fapt, nu e nevoie să transformi aceste numere foarte mari în format zecimal ca să răspunzi la întrebare—trebuie doar să te uiți la un singur bit—anume, ultimul bit. Acest ultim bit este întotdeauna la ordinul unităților, iar dacă un număr zecimal este impar va avea

1

la unități. Nu se poate scrie un număr impar în format binar fără acel 1 la ordinul unităților, întrucât fiecare alt ordin reprezintă o putere a lui

2

. Dacă știi asta, vei înțelege mult mai bine numerele binare.

Mai există un alt model interesant al numerelor binare. Aruncă o privire la acestea:

Zecimal	Binar
$3$ ‍	$11$ ‍
$7$ ‍	$111$ ‍
$15$ ‍	$1111$ ‍

Fiecare dintre aceste numere zecimal este egal cu o putere a lui

2

, minus

1

4 - 1 = 3

8 - 1 = 7

16 - 1 = 15

. Când un număr binar are un

1

pe fiecare poziție, el este cea mai mare valoare ce poate fi reprezentată cu acel număr de biți. Dacă mai adaugi un

1

acelui număr vei avea nevoie de încă un bit. Aceste numere sunt asemenea lui

9

99

și

999

din sistemul zecimal.

Se pare că cel mai mare număr care poate fi reprezentat prin

n

biți este

2^{n} - 1

Biți ( $n$ ‍)	Cel mai mare număr	( $2^{n} - 1$ ‍)
1	$1$ ‍	$(2^{1} - 1)$ ‍
2	$3$ ‍	$(2^{2} - 1)$ ‍
3	$7$ ‍	$(2^{3} - 1)$ ‍
4	$15$ ‍	$(2^{4} - 1)$ ‍

Ce crezi: care număr zecimal se reprezintă în binar ca

11111

Poți calcula asta destul de rapid folosind metoda de mai înainte. Totuși, mai este o strategie învățată pe care o poți aplica: poți să iei numărul biților (

5

), să calculezi

2^{5}

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

, iar apoi să scazi

1

Toatea acestea îți vor permite o înțelegere mai intuitivă a numerelor binare. Poate nu vei ține minte toate aceste trucuri, dar nu e nicio problemă. Există multe antrenamente care să te ajute să-ți formezi deprinderea de lucru.

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Ai întrebări pe acest subiect? Suntem bucuroși să-ți răspundem — întreabă în zona de întrebări de mai jos!

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.