Conţinutul principal
Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 13
Lecția 3: Înmulțirea matricelor cu scalariProprietățile înmulțirii matricei cu un scalar
Învață despre proprietățile înmulțirii matricei cu un scalar (cum ar fi distributivitatea) și legătura cu înmulțirea numerelor reale.
În tabelul de mai jos,
| Proprietate | Exemplu |
|---|---|
| Proprietatea de asociativitate a înmulțirii | |
| Proprietatea de distributivitate | |
| Elementul neutru pentru înmulțire | |
| Înmulțirea cu zero | |
| Proprietatea de închidere a înmulțirii |
Acest articol explorează aceste proprietăți.
Matrice și înmulțirea matricelor cu scalari
O matrice este o dispunere dreptunghiulară a numerelor pe linii şi coloane.
Când lucrăm cu matrice, ne referim la numere reale ca la scalari.
Termenul înmulțire cu un scalar se referă la înmulțirea unui număr real cu o matrice. În cazul înmulțirii cu un scalar, fiecare valoare din matrice este înmulțită cu scalarul dat.
Dacă noțiunile acestea sunt noi pentru tine, trebuie să vezi următoarele articole înainte de a continua:
Despre dimensiuni
Observă că un scalar înmulțit cu o matrice de
Inmulțirea matricei cu un scalar și înmulțirea numerelor reale
Deoarece înmulțirea cu un scalar se bazează în mare măsură pe înmulțirea numerelor reale, multe dintre proprietățile înmulțirii pe care le știm ca fiind adevărate cu numere reale sunt, de asemenea, adevărate la înmulțirea matricelor cu un scalar.
Să aruncăm o privire asupra fiecărei proprietăți în parte.
Proprietatea de asociativitate a înmulțirii:
Această proprietate precizează că, în cazul în care o matrice este înmulțită cu doi scalari, putem înmulți mai întâi scalarii între ei și apoi înmulțim rezultatul cu matricea. Sau putem înmulți matricea cu un scalar şi apoi înmulțim matricea rezultată cu celălalt scalar.
Exemplul următor ilustrează această proprietate pentru
În fiecare coloană am simplificat o parte a egalității într-o singură matrice. Cele două matrice rezultate sunt echivalente datorită proprietății de asociativitate a adunării numerelor reale. De exemplu,
Acest lucru arată că expresiile inițiale trebuie să fie, de asemenea, echivalente!
Proprietăți de distributivitate:
Această proprietate precizează că un scalar poate fi distribuit față de adunarea matricelor.
Iată un exemplu în care
Comparând ultimele matrice din fiecare coloană, vedem că sunt echivalente datorită proprietății de distributivitate pentru numerele reale. De exemplu,
Astfel, cele două expresii inițiale trebuie să fie, de asemenea, echivalente!
Această proprietate precizează că un scalar poate fi distribuit față de adunarea matricelor.
Iată un exemplu în care
Încă o dată, vedem că ultimele matrice din coloane sunt echivalente datorită proprietății de distributivitate pentru numerele reale, făcând expresiile inițiale echivalente, așa cum se dorea!
Elementul neutru pentru înmulțire:
Această proprietate spune că atunci când înmulțim orice matrice
Deci, de exemplu, dacă
Observă că deoarece
Înmulțirea cu zero:
Această proprietate precizează că, în cazul înmulțirii cu scalari,
Acest lucru este adevărat datorită proprietăţii înmulțirii cu zero în sistemul de numere reale. Dacă
Această proprietate specifică faptul că înmulțirea oricărui scalar cu o matrice zero are ca rezultat aceeași matrice zero.
Din nou, această proprietate este adevărată datorită proprietății înmulțirii cu zero în sistemul de numere reale. Iată un exemplu în care
Verifică dacă ai înțeles
Acum că ești familiarizat cu înmulțirea matricelor cu scalari și cu proprietățile acesteia, să vedem dacă le poți folosi pentru a determina expresii matriceale echivalente.
Pentru problemele de mai jos, fie
Vrei să te alături conversației?
Nici o postare încă.