Conţinutul principal

Curs: Geometrie pentru EN > Unitatea 4

Lecția 3: Congruența triunghiurilor

Recapitulare congruența triunghiurilor

Recapitulăm criteriile de congruență pentru triunghiuri și le folosim în demonstrații.

La ce folosesc criteriile de congruență a triunghiurilor?

Două figuri sunt congruente dacă și numai dacă le putem suprapune una peste cealaltă folosind transformări rigide. Deoarece transformările rigide păstrează distanța și măsura unghiurilor, toate laturile și unghiurile corespondente sunt congruente. Aceasta înseamnă că pentru a decide dacă două triunghiuri sunt congruente ar trebui să măsurăm toate laturile si unghiurile.

Criteriile de congruență a triunghiurilor ne dau o cale mai simplă! Cu doar

3

măsurători, noi putem adesea arăta că două triunghiuri sunt congruente.

Putem descompune un poligon în triunghiuri. Deci lucrul cu triunghiuri congruente ne permite o extindere și la figuri mai complexe.

Care sunt criteriile de congruență?


Lutură-latură-latură (LLL)	Dacă toate cele trei perechi de laturi corespondente sunt congruente, triunghiurile sunt congruente. În $△ A B C$ ‍ și $△ D E F$ ‍, sunt date: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍ $\overset{―}{A C} ≅ \overset{―}{D F}$ ‍ Deoarece ele sunt congruente, putem suprapune $\overset{―}{A B}$ ‍ pe $\overset{―}{D E}$ ‍ folosind transformări rigide. Transformările rigide păstrează distanța, deci $C^{'}$ ‍ este la intersecția a două cercuri: unul centrat în $D$ ‍ cu raza $D F$ ‍ și altul centrat în $E$ ‍ cu raza $E F$ ‍. Punctul $F$ ‍ este pe ambele cercuri. Punctu $C^{'}$ ‍ trebuie să fie ori în $F$ ‍ (și atunci am terminat) ori în cealaltă intersecție a cercurilor. Deoarece punctele $D$ ‍ și $E$ ‍ sunt fiecare echidistante față de $F$ ‍ și $C^{'}$ ‍, ele trebuie să se afle pe mediatoarea lui $\overset{―}{F C^{'}}$ ‍. Dacă $C^{'}$ ‍ este în a doua intersecție, noi putem lua simetricul $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ față de $\overset{―}{D E}$ ‍ pentru a finaliza suprapunerea $△ A B C$ ‍ pe $△ D E F$ ‍.
Latură-unghi-latură (LUL)	Dacă două perechi de laturi corespondente și unghiurile dintre ele sunt congruente, atunci triunghiurile sunt congruente. În $△ A B C$ ‍ și $△ D E F$ ‍, sunt date: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $∠ B ≅ ∠ E$ ‍ $\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍ Deoarece ele sunt congruente, putem suprapune $\overset{―}{A B}$ ‍ pe $\overset{―}{D E}$ ‍ folosind transformări rigide. Transformările rigide păstrează distanța, deci $C^{'}$ ‍ este pe un cerc centrat în $E$ ‍ și cu raza $E F$ ‍. Transformările rigide păstrează măsura unghiului și unghiul s-ar putea deschide pe oricare semiplan definit de $\overset{―}{D E}$ ‍. Punctul $F$ ‍ este la intersecția cercului cu semidreapta dintr-un semiplan. Punctul $C^{'}$ ‍ trebuie să fie sau în $F$ ‍ (și atunci e gata) sau la intersecția cercului cu semidreapta din celălalt semiplan. Simetriile păstrează distanța și măsura unghiului. Deci, dacă $C^{'}$ ‍ este la a doua intersecție, putem duce simetricul $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ față de $\overset{―}{D E}$ ‍ pentru a finaliza suprapunerea $△ A B C$ ‍ peste $△ D E F$ ‍.
Unghi-latură-unghi (ULU)	Dacă două perechi de unghiuri corespondente și laturile dintre ele sunt congruente, atunci triughiurile sunt congruente. În $△ A B C$ ‍ și $△ D E F$ ‍, sunt date: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $∠ A ≅ ∠ D$ ‍ $∠ B ≅ ∠ E$ ‍ Deoarece ele sunt congruente, putem suprapune $\overset{―}{A B}$ ‍ pe $\overset{―}{D E}$ ‍ folosind transformări rigide. Transformările rigide păstrează măsura unghiului și unghiurile pot fi deschise pe oricare din semiplanele definite de $\overset{―}{D E}$ ‍. Punctul $F$ ‍ este pe ambele semidrepte din același semiplan. Punctul $C^{'}$ ‍ trebuie să fie ori în $F$ ‍ (și atunci suntem gata) ori la intersecția semidreptelor în celălalt semiplan. Simetriile păstrează distanța. Deci, dacă $C^{'}$ ‍ este la a doua intersecție, putem duce simetricul $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ față de $\overset{―}{D E}$ ‍ pentru a termina suprapunerea $△ A B C$ ‍ peste $△ D E F$ ‍.
Unghi-unghi-latură (UUL)	Dacă două perechi de unghiuri corespondente și o pereche de laturi corespondente (nu cele dintre unghiuri) sunt congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.
Ipotenuză-catetă (IC)	Dacă ipotenuzele și o pereche de laturi corespondente ale triunghiurilor dreptunghice sunt congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

Vrei să înveți mai mult despre criteriile de congruență a triunghiurilor? Vezi acest video.

De ce nu este latură-latură-unghi un criteriu de congruență a triunghiurilor?

Când două perechi de laturi corespondente și o pereche de unghiuri corespondente (care nu sunt între aceste laturi) sunt congruente, triunghiurile ar putea fi congruente, dar nu todeauna.

Acest criteriu, în mod obișnuit, nu este o informație suficientă dacă unghiurile corespondente sunt opuse celei mai mici laturi dintre cele două știute. În mod special trebuie să evităm cazul când figura nu este la scară.

În

△ A B C

și

△ D E F

, sunt date:

$∠ B ≅ ∠ E$ ‍
$\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍
$\overset{―}{A C} ≅ \overset{―}{D F}$ ‍

Deoarece ele sunt congruente, putem suprapune

\overset{―}{B C}

peste

\overset{―}{E F}

folosind transformări rigide. Dacă

∠ E

se deschide în celălalt semiplan atunci ducem simetricul lui

∠ B^{'}

din

△ A^{'} B^{'} C^{'}

față de

\overset{―}{E F}

. Transformările rigide păstrează distanța, deci

A^{″}

este pe un cerc centrat în

F

cu raza

D F

. Transformările rigide păstrează măsura unghiului, așa că

A^{″}

este pe raza

\vec{E D}

Oricum, pentru unele triunghiuri, sunt posibile două puncte de intersecție care ar face triunghiuri distincte. Studiem care triunghiuri sunt ambigue cu această simulare Desmos.

Putem fi siguri că două triunghiuri nu sunt congruente?

Un triunghi are numai

3

laturi și

3

unghiuri. Dacă știm măsurile a

4

laturi distincte ori măsurile a

4

unghiuri distincte, atunci știm că cele două triunghiuri nu pot fi congruente. Uneori, noi știm măsurile deoarece ele sunt în figură. Alteori, folosim instrumente cum ar fi teorema lui Pitagora sau suma unghiurilor interne ale unui triunghi pentru a găsi măsurile care lipsesc.

Uneori informația chiar nu este suficientă pentru a ști dacă triunghiurile sunt congruente sau nu. Dacă noi avem numai măsuri de unghiuri congruente sau numai două măsuri congruente, triunghiurile ar putea fi congruente, dar nu știm cu siguranță.

Desenul nu este totdeauna la scară, așa că nu putem presupune că două triunghiuri sunt sau nu sunt congruente pe baza a ceea ce se arată în figură. Acest lucru este important mai ales când încercăm să decidem dacă funcționează criteriul latură-latură-unghi. Dacă unghiurile congruente sunt ascuțite și desenul nu este la scară, atunci nu avem informația suficientă pentru a ști dacă triunghiurile sunt congruente sau nu, indiferent cum arată ele în figură

Verifică dacă ai înțeles

Problema 1

Sunt tringhiurile congruente?
Triunghiurile nu sunt desenate la scară.

Vrei să exersezi mai multe probleme cum este aceasta? Vezi acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.