If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Introducere în inversa unei funcții

Explicăm ce este inversa unei funcții și cum se poate evalua inversa unei funcții date prin tabel sau prin grafic.
Funcția inversă, în sensul cel mai general, este acea funcție care "inversează" corespondența inițială.
De exemplu, mai jos vedem că funcția f îi asociază lui 1 pe x, lui 2 îi asociază pe z, iar lui 3 i-l asociază pe y.
Inversa lui f, notată cu f1 (și citită "inversa lui f"), va inversa asocierile. Funcția f1 îi asociază lui x pe 1, lui y pe 3 și lui z pe 2.
Întrebare reflectivă
Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
Alege un răspuns:

Definirea funcțiilor inverse

În general, dacă o funcție f îi asociază argumentului a valoarea b, atunci funcția inversă, f1, asociază argumentului b valoarea a.
Avem definiția formală a funcțiilor inverse:

f(a)=bf1(b)=a

Hai să înțelegem în profunzime această definiție, lucrând câteva exemple.

Exemplul 1: Diagramă de asociere

Presupunem că funcția h este definită prin diagrama de mai sus. Cât este h1(9)?

Soluție

Ni se dau informațiile despre funcția h și ni se pune o întrebare legată de funcția h1. Deoarece funcțiile inverse inversează sensul asocierilor, trebuie ca noi să raționăm inversat.
Mai exact, pentru a-l afla pe h1(9), putem identifica argumentul lui h pentru care valoarea este 9. Justificare: dacă h1(9)=x, atunci din definiția inversei, h(x)=9.
Din diagrama dată, vedem că h(6)=9, așadar h1(9)=6.

Verifică dacă ai înțeles

Problema 1
g1(3)=
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Exemplul 2: Grafic

Mai jos avem graficul funcției g. Hai să găsim g1(7).

Soluție

Pentru a afla g1(7), putem să identificăm acel argument pentru g căruia îi corespunde valoarea 7. Justificare: dacăf g1(7)=x, atunci, conform definiției inversei, g(x)=7.
Din grafic vedem că g(3)=7.
De aceea, g1(7)=3.

Verifică dacă ai înțeles

Problema 2
Cât este h1(4)?
Alege un răspuns:

Problemă provocare
Știind că f(x)=3x2, cât este f1(7)?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Interpretare grafică

Exemplele anterioare ne-au arătat legătura algebrică dintre o funcție și inversa sa, dar există și o legătură grafică!
Considerăm funcția f, dată prin grafic și prin tabel de valori.
xf(x)
214
112
01
12
24
Putem inversa între ele argumentele cu valorile funcției f pentru a determina argumentele și valorile funcției f1. Prin urmare, dacă (a,b) aparține graficului asociat lui y=f(x), atunci (b,a) se va găsi pe graficul asociat lui y=f1(x).
Astfel, obținem graficul și tabelul de valori pentru funcția f1.
xf1(x)
142
121
10
21
42
Uitându-ne la cele două grafice, observăm că graficul lui y=f(x)și graficul lui y=f1(x) sunt simetrice față de dreapta y=x.
Această observație este adevărată în general: graficul unei funcții și graficul inversei acesteia sunt simetrice față de dreapta y=x.

Verifică dacă ai înțeles

Problema 3
Mai jos avem graficul asociat lui y=h(x).
Care variantă reprezintă cel mai bine graficul lui y=h1(x)?
Alege un răspuns:

Problema 4
Graficul asociat lui y=h(x) este un segment de dreaptă care unește punctele (5,1) și (2,7).
Trage de capetele segmentului verde de mai jos astfel încât el să reprezinte graficul lui y=h1(x).

De ce studiem funcțiile inverse?

Chiar dacă interesul pentru funcțiile inverse ar putea părea nesemnificativ, în fapt noi întâlnim conceptul acesta frecvent!
Considerăm transformarea C=59(F32) care poate fi folosită pentru conversia temperaturii din grade Fahrenheit, F, în grade Celsius, C.
Dar dacă am fi dorit să facem conversia în sens invers – de la grade Celsius la grade Fahrenheit? Ei bine, am fi avut nevoie de transformarea F=95C+32, care este exact funcția inversă.
Să dăm și un exemplu chiar elementar. Multe ecuații matematice le rezolvăm prin "separarea variabilei". Când izolăm variabila, de fapt facem operațiile "înapoi" față de cele exprimate în ecuație. Astfel, pentru rezolvarea ecuațiilor, folosim expresii ce reprezintă funcții inverse.