If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Curs: M1 - Clasa a X-a > Unitatea 4

Lecția 2: Funcții inversabile
Matematică
M1 - Clasa a X-a
Funcții
Funcții inversabile
© 2024 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Introducere în inversa unei funcții

Clasa Google
Explicăm ce este inversa unei funcții și cum se poate evalua inversa unei funcții date prin tabel sau prin grafic.
Funcția inversă, în sensul cel mai general, este acea funcție care "inversează" corespondența inițială.
De exemplu, mai jos vedem că funcția f îi asociază lui 1 pe x, lui 2 îi asociază pe z, iar lui 3 i-l asociază pe y.
A mapping diagram. The map is titled f. The first oval contains the values one, two, and three. The second oval contains the values x, y, and z. There is an arrow starting at one and pointing to x. There is an arrow starting at two and pointing at z. There is an arrow starting at three and pointing at y.
Inversa lui f, notată cu f−1 (și citită "inversa lui f"), va inversa asocierile. Funcția f−1 îi asociază lui x pe 1, lui y pe 3 și lui z pe 2.
A mapping diagram. The map is titled f inverse. The first oval contains the values x, y, and z. The second oval contains one, two, and three. There is an arrow starting at x and pointing to one. There is an arrow starting at y and pointing to three. There is an arrow starting z and pointing to two.
Întrebare reflectivă
Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
Alege un răspuns:

Definirea funcțiilor inverse

În general, dacă o funcție f îi asociază argumentului a valoarea b, atunci funcția inversă, f−1, asociază argumentului b valoarea a.
The value a goes into function f and becomes value B which goes into f inverse and becomes value A.
Avem definiția formală a funcțiilor inverse:

f(a)=b⟺f−1(b)=a

Hai să înțelegem în profunzime această definiție, lucrând câteva exemple.

Exemplul 1: Diagramă de asociere

A mapping diagram. The map is titled h. The first oval contains the values zero, four, six, and nine. The second oval contains the values three, seven, nine, and twelve. There is an arrow starting at zero and pointing to seven. There is an arrow starting at four and pointing at three. There is an arrow starting at six and pointing at nine. There is an arrow starting at nine and pointing at twelve.
Presupunem că funcția h este definită prin diagrama de mai sus. Cât este h−1(9)?

Soluție

Ni se dau informațiile despre funcția h și ni se pune o întrebare legată de funcția h−1. Deoarece funcțiile inverse inversează sensul asocierilor, trebuie ca noi să raționăm inversat.
Mai exact, pentru a-l afla pe h−1(9), putem identifica argumentul lui h pentru care valoarea este 9. Justificare: dacă h−1(9)=x, atunci din definiția inversei, h(x)=9.
Din diagrama dată, vedem că h(6)=9, așadar h−1(9)=6.

Verifică dacă ai înțeles

A mapping diagram. The map is titled g. The first oval contains the values negative one, zero, three, and five. The second oval contains the values two, three, four, and eight. There is an arrow starting at negative one and pointing at three. There is an arrow starting at zero and pointing at four. There is an arrow starting at three and pointing at eight. There is an arrow starting at five and pointing at two
Problema 1
g−1(3)=
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Exemplul 2: Grafic

Mai jos avem graficul funcției g. Hai să găsim g−1(−7).
A coordinate plane. The x-axis scales by zero point five, and the y-axis scales by one. The function y equals g of x is a continuous curve that starts at negative three, negative seven and increases slowly to the point negative one, negative five. Then the graph increases faster through the point zero, negative five point five and one, negative three point five. It continues to increase at a faster rate through the point two, two and the point three, ten.

Soluție

Pentru a afla g−1(−7), putem să identificăm acel argument pentru g căruia îi corespunde valoarea −7. Justificare: dacăf g−1(−7)=x, atunci, conform definiției inversei, g(x)=−7.
Din grafic vedem că g(−3)=−7.
De aceea, g−1(−7)=−3.
A coordinate plane. The x-axis scales by zero point five, and the y-axis scales by one. The function y equals g of x is a continuous curve that starts at negative three, negative seven and increases slowly to the point negative one, negative five. Then the graph increases faster through the point zero, negative five point five and one, negative three point five. It continues to increase at a faster rate through the point two, two and the point three, ten. There is a dashed vertical line at x equals negative three and a vertical dashed line at y equals negative seven. These lines intersect at the point negative three, negative seven, which is plotted is labeled.

Verifică dacă ai înțeles

A coordinate plane. The x- and y- axes each scale by zero point five. The function y equals h of x is a straight that line goes through the point, negative two, four, the point zero, three, and the point two, two.
Problema 2
Cât este h−1(4)?
Alege un răspuns:

Problemă provocare
Știind că f(x)=3x−2, cât este f−1(7)?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Interpretare grafică

Exemplele anterioare ne-au arătat legătura algebrică dintre o funcție și inversa sa, dar există și o legătură grafică!
Considerăm funcția f, dată prin grafic și prin tabel de valori.
A coordinate plane. The x- and y- axes each scale by one. The function y equals f of x is a nonlinear curve that goes through the following points: the point negative two, one-fourth, the point negative one, one-half, the point zero, one, the point one, two, and the point two, four.
xf(x)
−214
−112
01
12
24
Putem inversa între ele argumentele cu valorile funcției f pentru a determina argumentele și valorile funcției f−1. Prin urmare, dacă (a,b) aparține graficului asociat lui y=f(x), atunci (b,a) se va găsi pe graficul asociat lui y=f−1(x).
Astfel, obținem graficul și tabelul de valori pentru funcția f−1.
A coordinate plane. The x- and y- axes each scale by one. The function y equals f inverse of x is a nonlinear curve that goes through the following points: the point one-fourth, negative two, the point one-half, negative one, the point one, zero, the point two, one, and the point four, two.
xf−1(x)
14−2
12−1
10
21
42
Uitându-ne la cele două grafice, observăm că graficul lui y=f(x)și graficul lui y=f−1(x) sunt simetrice față de dreapta y=x.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. There is a curved lines representing the function y equals f of x. The line is the equation y equals two to the power of x. There is another curved line representing the function y equals f inverse of x. The second line is a reflection of the first curved line over the line y equals x.
Această observație este adevărată în general: graficul unei funcții și graficul inversei acesteia sunt simetrice față de dreapta y=x.

Verifică dacă ai înțeles

Problema 3
Mai jos avem graficul asociat lui y=h(x).
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. There is a straight line representing the function y equals h of x. The line goes through the points zero, negative two and six, zero
Care variantă reprezintă cel mai bine graficul lui y=h−1(x)?
Alege un răspuns:

Problema 4
Graficul asociat lui y=h(x) este un segment de dreaptă care unește punctele (5,1) și (2,7).
Trage de capetele segmentului verde de mai jos astfel încât el să reprezinte graficul lui y=h−1(x).

De ce studiem funcțiile inverse?

Chiar dacă interesul pentru funcțiile inverse ar putea părea nesemnificativ, în fapt noi întâlnim conceptul acesta frecvent!
Considerăm transformarea C=59(F−32) care poate fi folosită pentru conversia temperaturii din grade Fahrenheit, F, în grade Celsius, C.
Dar dacă am fi dorit să facem conversia în sens invers – de la grade Celsius la grade Fahrenheit? Ei bine, am fi avut nevoie de transformarea F=95C+32, care este exact funcția inversă.
Să dăm și un exemplu chiar elementar. Multe ecuații matematice le rezolvăm prin "separarea variabilei". Când izolăm variabila, de fapt facem operațiile "înapoi" față de cele exprimate în ecuație. Astfel, pentru rezolvarea ecuațiilor, folosim expresii ce reprezintă funcții inverse.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.