Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 4

Lecția 5: Operații cu funcții

Introducere în combinarea funcțiilor

Clasa Google

Familiarizează-te cu ideea că putem aduna, scădea, înmulți sau împărți două funcții pentru a obține o nouă funcție.

Așa cum putem aduna, scădea, înmulți și împărți numere, putem, totodată, aduna, scădea, înmulți și împărți funcții.

Suma a două funcții

Partea 1: Crearea unei funcții noi prin adunarea a două funcții

Să adunăm

f (x) = x + 1

și

g (x) = 2 x

pentru a obține o nouă funcție.

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (x + 1) + (2 x) \\ = x + 1 + 2 x \\ = 3 x + 1 \end{aligned}$ ‍

Să numim această nouă funcție

h

. Deci avem:

$h (x) = f (x) + g (x) = 3 x + 1$ ‍

Partea 2: Evaluarea unei funcții combinate

De asemenea, putem calcula valoarea funcțiilor combinate pentru anumite variabile. Să evaluăm funcția

h

de mai sus pentru

x = 2

. În continuare sunt prezentate două moduri de a face acest lucru.

Metoda 1: Înlocuiește

x = 2

în funcția

h

$\begin{aligned} h (x) & = 3 x + 1 \\ h (2) & = 3 (2) + 1 \\ = 7 \end{aligned}$ ‍

Metoda 2: Calculează

f (2)

și

g (2)

și adună rezultatele.

Deoarece

h (x) = f (x) + g (x)

, putem afla

h (2)

și prin aflarea valorii

f (2) + g (2)

În primul rând, să calculăm

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = x + 1 \\ f (2) & = 2 + 1 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

Acum, să calculăm

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = 2 x \\ g (2) & = 2 \cdot 2 \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

Deci

f (2) + g (2) = 3 + 4 = 7

Iată că înlocuind

x = 2

direct în funcția

h

și calculând

f (2) + g (2)

am ajuns la același răspuns!

Acum să încercăm câteva probleme de antrenament.

În problemele 1 și 2, fie

f (x) = 3 x + 2

și

g (x) = x - 3

Problema 1

Calculează $f (x) + g (x)$ ‍.

Problema 2

Calculează $f (- 1) + g (- 1)$ ‍.

Iată câteva moduri de a găsi răspunsul.

Metoda 1: Calculăm

f (- 1)

și

g (- 1)

separat. Apoi adunăm cele două valori.

În primul rând, să calculăm

f (- 1)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ f (- 1) & = 3 (- 1) + 2 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

În continuare, să calculăm

g (- 1)

$\begin{aligned} g (x) & = x - 3 \\ g (- 1) & = - 1 - 3 \\ = - 4 \end{aligned}$ ‍

Așadar,

f (- 1) + g (- 1) = - 1 + (- 4) = - 5

Metoda 2: Calculăm

f (x) + g (x)

întâi, apoi calculăm valoarea expresiei obținute pentru

x = - 1

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (3 x + 2) + (x - 3) \\ = 3 x + 2 + x - 3 \\ = 4 x - 1 \end{aligned}$ ‍

Când

x = - 1

, această expresie este egală cu

4 (- 1) - 1

, adică

- 5

Interpretare grafică

Putem, de asemenea, să înțelegem ce înseamnă adunarea a două funcții analizând graficele funcțiilor.

Graficele funcțiilor

y = m (x)

și

y = n (x)

sunt prezentate mai jos. În primul grafic, observăm că

m (4) = 2

. În al doilea grafic, observăm că

n (4) = 5

Fie

p (x) = m (x) + n (x)

. Acum uită-te la graficul lui

y = p (x)

. Observă că

p (4) = 2 + 5 = 7

Încearcă să verifici dacă

p (x) = m (x) + n (x)

pentru orice valoare a lui

x

, analizând cele trei grafice.

Hai să exersăm.

Problema 3

Graficele pentru

y = f (x)

și

y = g (x)

sunt prezentate mai jos.

Care este cea mai bună aproximare pentru $f (3) + g (3)$ ‍?

Alte moduri de a combina funcțiile

Toate exemplele pe care le-am analizat până acum creează o nouă funcție prin adunarea a două funcții, dar putem, de asemenea, să scădem, să înmulțim și să împărțim două funcții pentru a crea noi funcții!

De exemplu, dacă

f (x) = x + 3

și

g (x) = x - 2

, atunci putem găsi nu numai suma, ci și ...

... diferența.

\begin{aligned} f (x) - g (x) & = (x + 3) - (x - 2) Înlocuim. \\ = x + 3 - x + 2 Reducem termenii de semn opus. \\ = 5 Grupăm termenii asemenea. \end{aligned}

... produsul.

\begin{aligned} f (x) \cdot g (x) & = (x + 3) (x - 2) Înlocuim. \\ = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 Desfacem parantezele. \\ = x^{2} + x - 6 Grupăm termenii asemenea. \end{aligned}

... câtul.

\begin{aligned} f (x) : g (x) & = \frac{f (x)}{g (x)} \\ = \frac{(x + 3)}{(x - 2)} Înlocuim. \end{aligned}

Procedând astfel, tocmai am creat trei funcţii noi!

Problemă provocare

p (t) = t + 2

q (t) = t - 1

r (t) = t

Calculează $p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)$ ‍.

Să calculăm întâi

p (3)

q (3)

și

r (3)

înlocuind

t = 3

în fiecare formulă.

În primul rând, să calculăm

p (3)

$\begin{aligned} p (t) & = t + 2 \\ p (3) & = 3 + 2 \\ = 5 \end{aligned}$ ‍

În continuare, să calculăm

q (3)

$\begin{aligned} q (t) & = t - 1 \\ q (3) & = 3 - 1 \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

În final, să calculăm

r (3)

$\begin{aligned} r (t) & = t \\ r (3) & = 3 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

Acum putem afla

p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)

după cum urmează:

\begin{aligned} p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3) & = 5 \cdot 2 \cdot 3 - 5 \\ = 30 - 5 \\ = 25 \end{aligned}

De asemenea, am putea afla întâi

p (t) \cdot q (t) \cdot r (t) - p (t)

, iar apoi să calculăm valoarea acestei expresii când

t = 3

. Totuși, acest lucru ar fi mai complicat, deoarece rezultatul ar fi un polinom de gradul al treilea!

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.