Conţinutul principal

Curs: M1 - Clasa a X-a > Unitatea 3

Lecția 1: Forma algebrică a numerelor complexe

Introducere în numerele imaginare

Învață despre unitatea imaginară i, despre numerele imaginare și despre rădăcinile pătrate ale numerelor negative.

Pe parcursul studierii matematicii, probabil ai observat că unele ecuații pătratice nu au soluții reale.

De exemplu, oricât ai încerca, nu vei putea să determini un număr real care să fie soluție a ecuației

x^{2} = - 1

. Aceasta se explică prin faptul că pătratul niciunui număr real nu poate fi număr negativ!

Totuși, există o soluție a ecuației

x^{2} = - 1

într-o mulțime numită mulțimea numerelor complexe.

Unitatea imaginară

Elementul de bază al acestei noi mulțimi îl reprezintă unitatea imaginară sau numărul

i

Sunt adevărate următoarele egalități care implică numărul

i

$i = \sqrt{- 1}$ ‍
$i^{2} = - 1$ ‍

A doua proprietate ne spune că, într-adevăr, numărul

i

este soluție a ecuației

x^{2} = - 1

. Ecuația nerezolvabilă de mai înainte a devenit rezolvabilă dacă am adăugat unitatea imaginară!

Numere pur imaginare

Numărul

i

nu este unicat! Luând multipli ai unitătii imaginare, putem crea o infinitate de alte numere pur imaginare.

De exemplu,

3 i

i \sqrt{5}

și

- 12 i

sunt toate exemple de numere imaginare sau numere de forma

b i

, în care

b

este un număr real nenul.

Dacă luăm pătratele acestor numere, putem face puțină lumină în ceea ce privește relația lor cu numerele reale. Hai să vedem mi îndeaproape, luând pătratul numărului

3 i

. Proprietățile exponenților întregi rămân aceleași, deci putem ridica la pătrat așa cum o făceam în mod obișnuit.

$\begin{aligned} (3 i)^{2} & = 3^{2} i^{2} \\ = 9 i^{2} \end{aligned}$ ‍

Folosind faptul că

i^{2} = - 1

, putem simplica expresia astfel:

$\begin{aligned} = 9 i^{2} \\ = 9 (- 1) \\ = - 9 \end{aligned}$ ‍

Egalitatea

(3 i)^{2} = - 9

înseamnă că

3 i

este rădăcina pătrată a lui

- 9

Verifică dacă ai înțeles

Cât este $(4 i)^{2}$ ‍?

Care dintre următoarea este rădăcina pătrată a lui $- 16$ ‍?

În acest fel, putem vedea că numerele pur imaginare sunt rădăcinile pătrate ale numerelor negative!

Simplificarea numerelor pur imaginare

În tabelul de mai jos avem exemple de numere pur imaginare atât în forma nesimplificată, cât și în formă simplificată.

Forma nesimplificată	Forma simplificată
$\sqrt{- 9}$ ‍	$3 i$ ‍
$\sqrt{- 5}$ ‍	$i \sqrt{5}$ ‍
$- \sqrt{- 144}$ ‍	$- 12 i$ ‍

Dar cum simplificăm aceste numere pur imaginare?

Hai să ne uităm mai îndeaproape la primul exemplu si să vedem cum îl putem simplifica!

Echivalența inițială	Cum gândim?
$\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}$ ‍	Rădăcina pătrată a lui $- 9$ ‍ este un număr imaginar. Rădăcina pătrată a lui $9$ ‍ este $3$ ‍, deci rădăcina pătrată a numărului minus $9$ ‍ este formată din $3$ ‍ unități imaginare sau $3 i$ ‍.

Proprietatea următoare explică "procesul de gândire" anterior în termeni matematici.

Pentru $a > 0$ ‍, $\sqrt{- a} = i \sqrt{a}$ ‍

Dacă punem asta împreună cu ceea ce știam legat de simplificarea radicalilor, putem simplifica toate numerele pur imaginare, Hai să vedem un exemplu.

Exemplu

Simplifică

\sqrt{- 18}

Soluție

În primul rând, să observăm că

\sqrt{- 18}

este un număr imaginar, deoarece este rădăcina pătrată a unui număr negativ. Deci, putem incepe prin rescrierea lui

\sqrt{- 18}

i \sqrt{18}

Apoi, putem simplifica

\sqrt{18}

folosind ceea ce știam deja despre simplificarea radicalilor.

Iată cum lucrăm:

\begin{aligned} \sqrt{- 18} & = i \sqrt{18} & Pentru a > 0, \sqrt{- a} = i \sqrt{a} \\ = i \cdot \sqrt{9 \cdot 2} & 9 este pătrat perfect și divizor al lui 18 \\ = i \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} & \sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} când a, b \geq 0 \\ = i \cdot 3 \cdot \sqrt{2} & \sqrt{9} = 3 \\ = 3 i \sqrt{2} & Înmulțirea este comutativă \end{aligned}

Rezultă că

\sqrt{- 18} = 3 i \sqrt{2}

Să exersăm cu niște probleme!

Problema 1

Simplifică

\sqrt{- 25}

Problema 2

Simplifică

\sqrt{- 10}

Problema 3

Simplifică

\sqrt{- 24}

Totuși, de ce avem numere imaginare?

Răspunsul este simplu. Unitatea imaginară

i

ne permite să găsim soluţii pentru multe ecuaţii care nu au soluţii reale.

Acest lucru poate părea ciudat, dar de fapt este foarte frecvent ca ecuaţiile să nu poată fi rezolvate pe o anumită mulțime de numere, dar să poată fi rezolvate pe o mulțime de numere mai largă.

Iată câteva exemple cu care probabil ești mai familiarizat.

Nu putem rezolva doar pe mulțimea numerelor naturale ecuația $x + 8 = 1$ ‍; avem nevoie de mulțimea numerelor întregi aici!
Ecuația $3 x - 1 = 0$ ‍ nu poate fi rezolvată pe mulțimea numerelor întregi; dar avem soluții în mulțimea numerelor raționale!
Ecuația $x^{2} = 2$ ‍ nu are soluție în mulțimea numerelor raționale, însă are soluție irațională și poate fi rezolvată în mulțimea numerelor reale.

Mai departe, nu există soluție reală pentru

x^{2} = - 1

. Avem nevoie de numere imaginare pentru această ecuație.

Pe măsură ce vei continua să studiezi matematica, vei înțelege și mai bine importanța acestor numere.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.