Conţinutul principal

Înțelegerea regulii trapezului

Trecem printr-un exemplu folosind regula trapezului, apoi încerci pe cont propriu câteva probleme de antrenament.

De acum știi că putem folosi sume Riemann pentru a aproxima aria suprafeței de sub graficul unei funcții. Sumele Riemann folosesc dreptunghiuri care permit unele aproximări. Dar dacă în loc de dreptunghiuri am folosi trapeze pentru această aproximare?

Idee cheie: Folosind trapeze (cu "regula trapezelor") putem obține o aproximare mai bună decât folosind dreptunghiuri (cu "sume Riemann").

Un exemplu cu regula trapezelor

Să o testăm folosind trei trapeze pentru a aproxima aria suprafeței de sub graficul funcției

f (x) = 3 \ln (x)

pe intervalul

[2, 8]

Iată cum arată graficul când evidențiem primul trapez

T_{1}

, al doilea trapez

T_{2}

și al treilea trapez

T_{3}

Reamintește-ți că aria unui trapez este

h (\frac{b_{1} + b_{2}}{2})

unde

h

este înălțimea, iar

b_{1}

și

b_{2}

sunt bazele.

Calcularea ariei lui $T_{1}$ ‍

Vedem trapezele ca fiind întoarse și stând pe înălțime.

Înălțimea

h

este

2

întinzându-se în partea de jos a lui

T_{1}

de la

x = 2

până la

x = 4

Prima bază

b_{1}

are valoarea egală cu

3 \ln (x)

în

x = 2

, adică

3 \ln (2)

A doua bază

b_{2}

este egală cu valoarea lui

3 \ln (x)

în

x = 4

, adică

3 \ln (4)

Iată cum arată toate acestea:

Să le punem cap la cap și să calculăm aria lui

T_{1}

T_{1} = h (\frac{b_{1} + b_{2}}{2})

T_{1} = 2 (\frac{3 \ln (2) + 3 \ln (4)}{2})

Simplifică:

T_{1} = 3 (\ln (2) + \ln (4))

Calcularea ariei lui $T_{2}$ ‍

Să calculăm înălțimea și ambele bazele:

h = 2

b_{1} = 3 \ln (4)

b_{2} = 3 \ln (6)

Înlocuim și simplifcăm:

T_{2} = 3 (\ln (4) + \ln (6))

Calculăm aria lui $T_{3}$ ‍

T_{3} =

Aproximarea întregii arii

Calculăm aria totală însumând ariile tuturor celor trei trapeze:

Aria totală = T_{1} + T_{2} + T_{3}

Iată răspunsul final simplificat:

Aria totală = 3 (\ln 2 + 2 \ln 4 + 2 \ln 6 + \ln 8)

Ar trebui să faci pauză aici și să urmăreșți partea de algebră, ca să te asiguri că ai înțeles cum am făcut asta!

Problemă de antrenament

Alege expresia care folosește patru trapeze pentru a aproxima aria suprafeței de sub graficul funcției $f (x) = 2 \ln (x)$ ‍ pe intervalul $[2, 8]$ ‍.

Aria unui trapez este dată de

A = \frac{1}{2} (B_{1} + B_{2}) \cdot h

unde

B_{1}

și

B_{2}

sunt lungimile bazelo verticale, iar

h

este înălțimea (care aici este orientată pe orizontală).

T_{1} = \frac{1}{2} (2 \ln 2 + 2 \ln 3, 5) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} (\ln 2 + \ln 3, 5)

T_{2} = \frac{1}{2} (2 \ln 3, 5 + 2 \ln 5) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} (\ln 3, 5 + \ln 5)

T_{3} = \frac{1}{2} (2 \ln 5 + 2 \ln 6, 5) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} (\ln 5 + \ln 6, 5)

T_{4} = \frac{1}{2} (2 \ln 6, 5 + 2 \ln 8) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} (\ln 6, 5 + \ln 8)

Și le adunăm pe toate:

\frac{3}{2} \ln 2 + 3 \ln 3, 5 + 3 \ln 5 + 3 \ln 6, 5 + \frac{3}{2} \ln 8

Simplifică:

\frac{3}{2} (\ln 2 + 2 \ln 3, 5 + 2 \ln 5 + 2 \ln 6, 5 + \ln 8)

Problemă provocare

Alege expresia care folosește trei trapeze pentru a aroxima aria suprafeței de sub graficul funcției $f$ ‍ pe intervalul $[- 1, 5]$ ‍.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 8