If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Proprietățile înmulțirii matricei cu un scalar

Învață despre proprietățile înmulțirii matricei cu un scalar (cum ar fi distributivitatea) și legătura cu înmulțirea numerelor reale.
În tabelul de mai jos, A și B sunt matrice cu dimensiuni egale, c și d sunt scalari, iar O este o matrice zero.
ProprietateExemplu
Proprietatea de asociativitate a înmulțiriileft parenthesis, c, d, right parenthesis, A, equals, c, left parenthesis, d, A, right parenthesis
Proprietatea de distributivitate c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, equals, c, A, plus, c, B
left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, A, equals, c, A, plus, d, A
Elementul neutru pentru înmulțire1, A, equals, A
Înmulțirea cu zero0, dot, A, equals, O
c, dot, O, equals, O
Proprietatea de închidere a înmulțiriic, A este o matrice cu aceleași dimensiuni ca A.
Acest articol explorează aceste proprietăți.

Matrice și înmulțirea matricelor cu scalari

O matrice este o dispunere dreptunghiulară a numerelor pe linii şi coloane.
Când lucrăm cu matrice, ne referim la numere reale ca la scalari.
Termenul înmulțire cu un scalar se referă la înmulțirea unui număr real cu o matrice. În cazul înmulțirii cu un scalar, fiecare valoare din matrice este înmulțită cu scalarul dat.
2(5231)=(25222321)=(10462)\begin{aligned}\goldD{2}\cdot{\left(\begin{array}{rr}{5} &2 \\ 3& 1 \end{array}\right)}&={\left(\begin{array}{ll}{\goldD2 \cdot5} &\goldD2\cdot 2 \\ \goldD2\cdot3& \goldD2\cdot1 \end{array}\right)}\\\\\\ &={\left(\begin{array}{rr}{10} &4 \\ 6&2 \end{array}\right)}\end{aligned}
Dacă noțiunile acestea sunt noi pentru tine, trebuie să vezi următoarele articole înainte de a continua:

Despre dimensiuni

Observă că un scalar înmulțit cu o matrice de 2, times, 2 este un o altă matrice de 2, times, 2. În general, un scalar înmulțit cu o matrice va fi o altă matrice de aceeaşi dimensiune. Aceasta se înţelege prin proprietatea de închidere a înmulțirii cu scalari!

Inmulțirea matricei cu un scalar și înmulțirea numerelor reale

Deoarece înmulțirea cu un scalar se bazează în mare măsură pe înmulțirea numerelor reale, multe dintre proprietățile înmulțirii pe care le știm ca fiind adevărate cu numere reale sunt, de asemenea, adevărate la înmulțirea matricelor cu un scalar.
Să aruncăm o privire asupra fiecărei proprietăți în parte.

Proprietatea de asociativitate a înmulțirii: left parenthesis, c, d, right parenthesis, A, equals, c, left parenthesis, d, A, right parenthesis

Această proprietate precizează că, în cazul în care o matrice este înmulțită cu doi scalari, putem înmulți mai întâi scalarii între ei și apoi înmulțim rezultatul cu matricea. Sau putem înmulți matricea cu un scalar şi apoi înmulțim matricea rezultată cu celălalt scalar.
Exemplul următor ilustrează această proprietate pentru start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, d, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10 și A=(5481)\greenD A={\left(\begin{array}{rr}{\greenD5}&\greenD4 \\ \greenD8& \greenD1\end{array}\right)}.
În fiecare coloană am simplificat o parte a egalității într-o singură matrice. Cele două matrice rezultate sunt echivalente datorită proprietății de asociativitate a adunării numerelor reale. De exemplu, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, right parenthesis, dot, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, right parenthesis.
Acest lucru arată că expresiile inițiale trebuie să fie, de asemenea, echivalente!

Proprietăți de distributivitate:

c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, equals, c, A, plus, c, B

Această proprietate precizează că un scalar poate fi distribuit față de adunarea matricelor.
Iată un exemplu în care start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, A=(5231)\greenD A=\left(\begin{array}{rr}{\greenD5} &\greenD2\\ \greenD3& \greenD1\end{array}\right) și B=(3426)\goldD B=\left(\begin{array}{rr}{\goldD3} &\goldD4\\ \goldD2& \goldD6\end{array}\right):
Comparând ultimele matrice din fiecare coloană, vedem că sunt echivalente datorită proprietății de distributivitate pentru numerele reale. De exemplu, start color #11accd, 2, end color #11accd, left parenthesis, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, plus, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10.
Astfel, cele două expresii inițiale trebuie să fie, de asemenea, echivalente!

left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, A, equals, c, A, plus, d, A

Această proprietate precizează că un scalar poate fi distribuit față de adunarea matricelor.
Iată un exemplu în care start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #1fab54, d, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 și A=(6974)\goldD A=\left(\begin{array}{rr}{\goldD6} &\goldD9 \\ \goldD7&\goldD4\end{array}\right):
Încă o dată, vedem că ultimele matrice din coloane sunt echivalente datorită proprietății de distributivitate pentru numerele reale, făcând expresiile inițiale echivalente, așa cum se dorea!

Elementul neutru pentru înmulțire: 1, A, equals, A

Această proprietate spune că atunci când înmulțim orice matrice A cu scalarul 1, rezultatul este exact matricea inițială A.
Deci, de exemplu, dacă A=(2517)A= \left(\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right), atunci avem:
1(2517)=(12151117)=(2517)\begin{aligned}\greenD1 \left(\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{rr}{\greenD1\cdot {2}} &\greenD1\cdot 5 \\\greenD1\cdot 1&\greenD1\cdot 7 \end{array}\right)\\ \\ &=\left(\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right) \end{aligned}
Observă că deoarece 1, dot, a, equals, a pentru orice număr real a, scalarul 1 va fi întotdeauna element neutru pentru înmulțirea cu un scalar!

Înmulțirea cu zero:

0, dot, A, equals, O

Această proprietate precizează că, în cazul înmulțirii cu scalari, 0 înmulțit cu orice matrice A de tip m, times, n este matricea zero de tip m, times, n.
Acest lucru este adevărat datorită proprietăţii înmulțirii cu zero în sistemul de numere reale. Dacă a este un număr real, știm că 0, dot, a, equals, 0. Exemplul următor ilustrează acest lucru.
0(3867)=(03080607)=(0000)\begin{aligned}\greenD0 \left(\begin{array}{rr}{3} &8 \\ 6&7 \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{rr}{\greenD0\cdot 3} &\greenD0\cdot 8 \\ \greenD0\cdot 6&\greenD0\cdot 7 \end{array}\right)\\ \\ &=\left(\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right) \end{aligned}

c, dot, O, equals, O

Această proprietate specifică faptul că înmulțirea oricărui scalar cu o matrice zero are ca rezultat aceeași matrice zero.
Din nou, această proprietate este adevărată datorită proprietății înmulțirii cu zero în sistemul de numere reale. Iată un exemplu în care c, equals, 3 și O este matrice zero de tip 2, times, 2.
3(0000)=(30303030)=(0000)\begin{aligned}\greenD 3 \left(\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{rr}{\greenD 3 \cdot 0} &\greenD 3\cdot 0 \\ \greenD 3\cdot 0&\greenD 3\cdot 0 \end{array}\right)\\ \\ &=\left(\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right) \end{aligned}

Verifică dacă ai înțeles

Acum că ești familiarizat cu înmulțirea matricelor cu scalari și cu proprietățile acesteia, să vedem dacă le poți folosi pentru a determina expresii matriceale echivalente.
Pentru problemele de mai jos, fie A, B și C matrice de tip 2, times, 2 şi fie c și d scalari.
1) Care dintre următoarele expresii sunt echivalente cu c, left parenthesis, 1, A, plus, B, right parenthesis?
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte:

2) Care dintre următoarele expresii sunt echivalente cu left parenthesis, c, d, right parenthesis, A, plus, 0, A?
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte: